ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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MORDELL Louis Joël, anglais, 1888-1972

Américain, natif de Philadelphie (États-Unis), Mordell fit ses études secondaires en la renommée Central High School de cette ville créée en 1836. Sa passion pour les mathématiques, algèbre et arithmétique en particulier, le conduit en Angleterre où il entame (1906) ses études supérieures à l'université de Cambridge, plus précisément au St John's College, établissement renommé, proche du non moins célèbre Trinity College où enseigne Godefroy Hardy qui influença, avec Ramanujan (de un an son ainé), l'orientation de sa carrière.

Élu à la Société Royale de Londres en 1924, Mordell prit la nationalité anglaise en 1929 et fut professeur à Londres  (Birbeck College), à Manchester et à Cambridge, où il succèdera à Godefroy Hardy en 1945. Il reçut en particulier la médaille De Morgan de la Société Mathématique de Londres (1941) et la médaille Sylvester (1949) de la Société Royale.

Louis Mordell fut un spécialiste en théorie des nombres et étudia tout particulièrement les équations diophantiennes, équations dont on recherche des solutions en nombres entiers, et plus généralement les équations algébriques admettant des solutions rationnelles, ce qui revient à étudier des courbes algébriques à coordonnées (x,y) rationnelles. C'est ainsi qu'il s'impliquera, ainsi que Davenport qui fut un de ses étudiants, dans la géométrie des nombres initiée par Minkowski (» réf.7a-7b).

Équation de Mordell (1913) :

En 1922, dans un mémoire intitulé On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and the fourth degrees, prolongeant sa thèse dirigée par Thomas J. Bromwich, professeur au St John's College (1875-1929) et Henry Frederick Baker, professeur à Cambridge (1866-1956), Mordell s'attaqua en particulier à l'équation, portant aujourd'hui son nom :

y2 = x3 + k

où k est un paramètre entier donné et (x,y) recherché dans Z2. Il énonça des critères sur k assurant l'existence de solutions qu'il exprime partiellement ou complètement suivant les valeurs de k. Les courbes associées sont  des courbes elliptiques, parfois appelées courbes de Mordell, dont l'étude est liée, comme la conjecture ci-dessous, à la célèbre conjecture de Fermat, dite aujourd'hui théorème de Fermat-Wiles.


La courbe elliptique y2 = x3 + 1 et ses 5 points à coordonnées rationnelles (entières).

Conjecture de Mordell (finite basis theorem, 1922), groupe de Mordell :

Mordell prouva une conjecture de Poincaré selon laquelle les points d'une courbe elliptique à coordonnées rationnelles peuvent être munis d'une structure de groupe (» réf.5 & réf.8 : conférence vidéo Marc  Hindry, univ. Paris-Diderot) et émet lui-même une conjecture très ardue, qui sera prouvée soixante ans plus tard (1983) par un jeune mathématicien allemand de 29 ans, Gerd Faltings :

Une courbe algébrique ou surface algébrique, de genre au moins égal à 2,
ne peut admettre qu'un nombre fini de points à coordonnées rationnelles.

 ➔  Une preuve relativement simple de la conjecture de Mordell serait obtenue par celle de la conjecture ABC de David Masser et Joseph Oesterlé (» réf.2 sur la page consacrée à ce mathématicien ou réf.8b de cette page).

Le résultat se transpose en termes d'équations diophantiennes : en particulier l'équation de Fermat xn + yn - zn = 0 de genre (n - 1)(n - 2)/2 ne peut avoir qu'un nombre fini de solutions pour n au moins égal à 3.

Genre d'une courbe algébrique : »            Genre d'une surface : »

D'importantes avancées sur ce sujet avaient été obtenues par le mathématicien norvégien Axel Thue au début du 20è siècle. Le résultat de Mordell, complété par les travaux de Weil et de Siegel, fut une des pistes utilisées par Andrew Wiles pour démontrer (1993) la conjecture de Fermat, aussi appelé dernier (ou grand) théorème de Fermat.

 Conjectures d'Erdös : »
 

 ➔   Pour en savoir plus :

  1. Le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh, Éd. Pluriel, Paris, 1998
  2. Le dernier théorème de Fermat, Simon Singh, Ed. Pluriel, Paris - 1998
  3. DICTIONNAIRE DES MATHÉMATIQUES, algèbre, analyse, géométrie
    Courbes algébriques, Équations diophantiennes, Encyclopædia Universalis, Ed. Albin Michel, Paris, 1997
  4. Courbes de Mordell sur le site MathWorld d'Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html
  5. Le rang des courbes de Mordell (CNRS, Images des mathématiques) et l'étude du groupe des points à coordonnées rationnelles : http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html
  6. Introduction aux courbes elliptiques par Abderrahmane Nitaj (univ. Caen) : http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/Introdelliptic.pdf
  7. a) La géométrie dans la géométrie des nombres, par Sébastien Gauthier (in revue d'Histoire des Mathématiques de la SMF, 2009) : https://smf.emath.fr/system/files/2017-08/smf_rhm_15_183-230.pdf
    b) On some arithmetical results in the geometry of numbers, par Louis J. Mordell (1935) :
    http://www.numdam.org/item/CM_1935__1__248_0.pdf
  8. a) La conjecture de Mordell par Lucien Szpiro (séminaire Bourbaki 1983-84) :
    http://www.math.u-bordeaux1.fr/~fpazuki/index_fichiers/Szpiro83.pdf
    b) La conjecture abc et quelques unes de ses conséquences, par Émeline Crouseilles et Alexandre Lardeur
    sous la direction de Bernard Le Stum (univ. Rennes 1) :
    https://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/bernard.le-stum/Enseignement_files/ABC-CONJECTURE-2.pdf
  9. Les courbes elliptiques racontées à mes enfants, conférence de Marc  Hindry (univ. Paris-Diderot) :
    http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/les_courbes_elliptiques_racontees_a_mes_enfants
  10. Descente infinie et analyse diophantienne, par Catherine Goldstein, IMJ/CNRS :
    https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/MordellWeil-Goldstein.pdf
Darmois  Bouligand
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