ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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MORDELL Louis Joël, anglais, 1888-1972

Américain, natif de Philadelphie, Mordell y fit ses études secondaires. Sa passion pour les mathématiques le conduit en Angleterre où il entame ses études supérieures à l'université de Cambridge, plus précisément au St John's College, auprès de Hardy. Il fut professeur à Londres  (Birbeck College), Manchester et Cambridge où il succèdera à Hardy en 1945.

Mordell fut un spécialiste en théorie des nombres et étudia tout particulièrement les équations diophantiennes, équations dont on recherche des solutions en nombres entiers, et plus généralement les équations algébriques admettant des solutions rationnelles, ce qui revient à étudier des courbes algébriques à coordonnées (x,y) rationnelles.

Mordell s'attaqua en particulier à l'équation :

y2 = x3 + k

où k est un paramètre entier donné et (x,y) recherché dans Z2 dans le cadre de sa thèse dirigé par Thomas J. Bromwich (1875-1929). Il énonça des critères sur k assurant l'existence de solutions qu'il exprime partiellement ou complètement suivant les valeurs de k. Les courbes associées sont  des courbes elliptiques, parfois appelées courbes de Mordell, dont l'étude est liée, comme la conjecture ci-dessous, à la célèbre conjecture de Fermat, dite aujourd'hui théorème de Fermat-Wiles.


La courbe elliptique y2 = x3 + 1 et ses 5 points à coordonnées rationnelles (entières).

Conjecture de Mordell (finite basis theorem, 1922) :

Mordell prouva une conjecture de Poincaré selon laquelle les points d'une courbe elliptique à coordonnées rationnelles peuvent être munis d'une structure de groupe ( réf. 5 (CNRS) et réf. 7 : conférence vidéo Marc  Hindry, univ. Paris-diderot) et émet lui-même une conjecture très ardue, qui sera prouvée soixante ans plus tard (1983) par un jeune mathématicien allemand de 29 ans, Gerd Faltings :

Une courbe algébrique ou surface algébrique, de genre au moins égal à 2, ne peut admettre qu'un nombre
 fini de points à coordonnées rationnelles.

Ce résultat se transpose en termes d'équations diophantiennes. En particulier l'équation de Fermat xn + yn - zn = 0 de genre (n - 1)(n - 2)/2 ne peut avoir qu'un nombre fini de solutions pour n au moins égal à 3.

Genre d'une courbe algébrique :               Genre d'une surface :

L'ensemble des points à coordonnées rationnelles est vide ou infini dans le cas du genre 0 (cas par exemple des courbes unicursales dans le plan ou de la sphère dans l'espace : pas de "trou"). Le cas du genre 1 (cas par exemple d'une courbe elliptique dans le plan ou du tore dans l'espace : 1 trou) conduit à l'ensemble vide ou à un nombre fini de points.

D'importantes avancées sur ce sujet avaient été obtenues par le mathématicien norvégien Axel Thue au début du 20è siècle. Le résultat de Mordell, complété par les travaux de Weil et de Siegel, fut une des pistes utilisées par Andrew Wiles pour démontrer (1993) la conjecture de Fermat, aussi appelé dernier (ou grand) théorème de Fermat.

 Conjecture d'Erdös :

Pour en savoir plus :

  1. Le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh, Éd. Pluriel, Paris, 1998
  2. Le dernier théorème de Fermat, Simon Singh, Ed. Pluriel, Paris - 1998
  3. DICTIONNAIRE DES MATHÉMATIQUES, algèbre, analyse, géométrie
    Courbes algébriques, Équations diophantiennes, Encyclopaedia Universalis, Ed. Albin Michel, Paris, 1997
  4. Courbes de Mordell sur le site MathWorld d'Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html
  5. Le rang des courbes de Mordell (CNRS, Images des mathématiques) et l'étude du groupe des points à coordonnées rationnelles :
    http://images.math.cnrs.fr/Le-rang-des-courbes-elliptiques.html
  6. Introduction aux courbes elliptiques par Abderrahmane Nitaj (univ. Caen) : http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/Introdelliptic.pdf
  7. La conjecture de Mordell par Lucien Szpiro (séminaire Bourbaki 1983-84) :
    http://www.math.u-bordeaux1.fr/~fpazuki/index_fichiers/Szpiro83.pdf
  8. Les courbes elliptiques racontées à mes enfants, conférence de Marc  Hindry (univ. Paris-Diderot) :
    http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/les_courbes_elliptiques_racontees_a_mes_enfants


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