ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Spirale d'Archimède (ou de Conon de Samos ?)

Définition :    

Cette spirale est l'ensemble des points M se déplaçant d'un mouvement uniforme sur une droite, laquelle est en rotation uniforme autour d'un point. La spirale est tracée ci-dessous, M se déplaçant sur la demi-droite (d) et tournant dans le sens trigonométrique usuel.


spirale d'équation r = t/10 tracée pour t > 0

Equation :    

Désignons par M(r,θ) un point de la spirale en coordonnées polaires de pôle O et notons t le temps, avec r = 0 à l'origine du temps. On a r = kt (mouvement uniforme de M) et θ = k't (rotation uniforme du rayon polaire OM autour de O) où k et k' sont des constantes non nulles. On peut donc éliminer t.D'où, tout simplement :

r = aθ avec a = k/k'.

  La distance des spires par rapport à O augmente en progression arithmétique et celle entre les spires est constante : en effet, si r = aθ et r' = a(θ + 2π), alors r' - r = 2aπ.

Si nous traçons la spirale pour t négatif, on obtient une symétrie par rapport à Oy car le changement de t en - t change r en - r. La voici en traits fins pour éviter un aspect trop embrouillé, t variant de -13π à 13π :


spirale d'équation r = t/10 tracée pour t variant de -13π à 13π

 L'aire engendrée par la rotation de M depuis t = 0 (voir cette aire en ocre sur le premier graphique) est obtenue par la formule générale des aires en coordonnées polaires :

Dans notre cas : t1 = 0, t2 = t, r = at, on obtient  A = ½a2t3/3 = tr2/6.

Si l'on sait, et c'est bien évident, que l'aire d'un secteur circulaire de rayon r et d'angle d'ouverture t radians est tr2/2, on voit que l'aire de la spirale d'Archimède est le tiers du secteur angulaire correspondant.

à droite, décoration du linteau de l'entrée de la synagogue de Capharnaüm (Kefar Nahum, Palestine, 4è siècle)  

Spirale logarithmique (de Bernoulli) :        Spirale parabolique (de Fermat) :


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