ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Spirale
d'Archimède
(ou de
Conon de Samos
?) |
♦ Définition :
Cette spirale est l'ensemble des points M se déplaçant d'un mouvement uniforme sur une demi-droite, laquelle est en rotation uniforme autour d'un point. La spirale est tracée ci-dessous, M se déplaçant sur la demi-droite (d) et tournant dans le sens trigonométrique usuel.
spirale d'équation r = t/10 tracée pour t > 0
♦ Equation :
Désignons par M(r,θ) un point de la spirale en coordonnées polaires de pôle O et notons t le temps, avec r = 0 à l'origine du temps. On a r = kt (mouvement uniforme de M) et θ = k't (rotation uniforme du rayon polaire OM autour de O) où k et k' sont des constantes non nulles. On peut donc éliminer t.D'où, tout simplement :
➔ La distance des spires par rapport à O augmente en progression arithmétique et celle entre les spires est constante : en effet, si r = aθ et r' = a(θ + 2π), alors r' - r = 2aπ.
Si nous traçons la spirale pour t négatif, on obtient une symétrie par rapport à Oy car le changement de t en - t change r en - r. La voici en traits fins pour éviter un aspect trop embrouillé, t variant de -13π à 13π :
spirale d'équation r = t/10 tracée pour t variant de
-13π
à 13π
➔
L'aire
engendrée par la rotation de M depuis t = 0
(voir cette aire en ocre sur le
premier graphique) est obtenue par la formule
générale des aires en coordonnées polaires
:
Dans notre cas : t1 = 0, t2 = t, r = at, on obtient A = ½a2t3/3 = tr2/6.
Si l'on sait, et c'est bien évident, que l'aire d'un secteur circulaire de rayon r et d'angle d'ouverture t radians est tr2/2, on voit que l'aire de la spirale d'Archimède est le tiers du secteur angulaire correspondant.
à droite, décoration du linteau de l'entrée de la synagogue de Capharnaüm (Kefar Nahum, Palestine, 4è siècle)