ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Grand théorème de Fermat, cas n = 4           cas n = 3 , « petit » théorème

On se propose ici de prouver l'impossibilité d'obtenir, en nombres entiers, l'égalité :

x4 + y4 = z4

cas particulier, lorsque n = 4, du célèbre grand et dernier théorème de Fermat. Cette preuve réside principalement dans la résolution du 20è problème de Diophante selon Fermat où il est montré, en particulier, le résultat suivant :

Etant donnés deux nombres x et y premiers entre eux, de parités différentes, le produit
(y
2 + z2)(y2 - z2) ne peut être un carré (parfait).

 tout nombre positif est le carré de sa racine carrée. On entend par carré parfait un nombre entier (resp. rationnel : fraction) dont la racine carrée est entière (resp. rationnelle).

1. Quitte à diviser par leur pgcd, on remarquera que l'on peut, sans restreindre la généralité, supposer x, y et z premiers entre eux dans l'équation initiale.

2. Dans l'étude du produit (y2 + z2)(y2 - z2), on peut, sans restreindre la généralité, supposer y et z premiers entre eux car dans le cas contraire, ils admettent un diviseur premier p et il existe alors y' et z' entiers tels que :

y = py', z = pz' et donc p4(z'4 - y'4) = pp3(z'4 - y'4) = x4

L'entier p divise donc x4. Mais les diviseurs premiers de x4 sont ceux de x. Donc p est un diviseur de x et en posant x = px', l'équation initiale se ramène à la forme équivalente :

x'4 + y'4 = z'4

Donc, quitte à diviser x, y et z par le pgcd de y et z, on peut considérer y et z premiers entre eux. En fait, par un raisonnement analogue, il apparaît que x, y et z sont deux à deux premiers entre eux.

3. y et z ne peuvent être tous deux impairs : en effet, l'équation étudiée s'écrit :

 (x2)2 + (y2)2 = (z2)2

Le triplet (x2, y2, z2) est alors pythagoricien. Dans ces conditions, l'un des deux nombres x2 et y2 est pair. Par symétrie, on peut supposer que c'est y2. Donc y est pair. Par suite x est impair. Sinon z est aussi pair, ce qui contredit que y et z sont premiers entre eux : z est donc impair.

4. Or, l'équation x4 + y4 = z4 peut s'écrire :

(y2 + z2)(y2 - z2) = x4 = (x2)2

On est ainsi ramené à rechercher deux carrés x2 et y2 dont la somme et la différence sont aussi des carrés. Mais ce n'est pas possible comme le montre la méthode de descente infinie.

 Étude du cas n = 3, x3 + y3 = z3 :

  Pour en savoir plus :


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