ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Grand théorème de Fermat, cas n = 4           » cas n = 3 | « petit » théorème de Fermat

On se propose ici de prouver l'impossibilité d'obtenir, en nombres entiers, l'égalité :

cas particulier, lorsque n = 4, du célèbre grand et dernier théorème de Fermat. Cette preuve réside principalement dans la résolution du 20è problème de Diophante selon Fermat où il est montré, en particulier, le résultat suivant :

Etant donnés deux nombres x et y premiers entre eux, de parités différentes, le produit
(y² + z²)(y² - z²) ne peut être un carré (parfait).

 ➔  tout nombre positif est le carré de sa racine carrée. On entend par carré parfait un nombre entier (resp. rationnel : fraction) dont la racine carrée est entière (resp. rationnelle).

1. Quitte à diviser par leur pgcd, on remarquera que l'on peut, sans restreindre la généralité, supposer x, y et z premiers entre eux dans l'équation initiale.

2. Dans l'étude du produit (y² + z²)(y² - z²), on peut, sans restreindre la généralité, supposer y et z premiers entre eux car dans le cas contraire, ils admettent un diviseur premier p et il existe alors y' et z' entiers tels que :

y = py', z = pz' et donc p⁴(z'⁴ - y'⁴) = p × p³ × (z'⁴ - y'⁴) = x⁴

L'entier p divise donc x⁴. Mais les diviseurs premiers de x⁴ sont ceux de x. Donc p est un diviseur de x et en posant x = px', l'équation initiale se ramène à la forme équivalente :

x'⁴ + y'⁴ = z'⁴

Donc, quitte à diviser x, y et z par le pgcd de y et z, on peut considérer y et z premiers entre eux. En fait, par un raisonnement analogue, il apparaît que x, y et z sont deux à deux premiers entre eux.

3. y et z ne peuvent être tous deux impairs : en effet, l'équation étudiée s'écrit :

 (x²)² + (y²)² = (z²)²

Le triplet (x², y², z²) est alors pythagoricien. Dans ces conditions, l'un des deux nombres x² et y² est pair. Par symétrie, on peut supposer que c'est y². Donc y est pair. Par suite x est impair. Sinon z est aussi pair, ce qui contredit que y et z sont premiers entre eux : z est donc impair.

4. Or, l'équation x⁴ + y⁴ = z⁴ peut s'écrire :

• Les nombres y² + z² et y² - z² sont aussi premiers entre eux.
• Leur produit étant un carré, ces nombres sont eux-mêmes des carrés.

On est ainsi ramené à rechercher deux carrés x² et y² dont la somme et la différence sont aussi des carrés. Mais ce n'est pas possible comme le montre la méthode de descente infinie.

  ➔   Pour en savoir plus :

• Arithmétique et théorie des nombres par Jean Itard, Que Sais-je n° 1093, P.U.F. , Paris - 1963
• Revue Quadrature; n°22 - Ed. du choix - 1995.
  Grand théorème de Fermat, 1641 - 1994 (entièrement consacré au célèbre théorème de Fermat-Wiles).