ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La cissoïde       Cissoïde de Dioclès

Dans un repère orthonormé (O,Ox,Oy), on considère le point A(-2a,0), le point B(-a,a), la tangente (t) au point B, K un point quelconque de (t).

La droite (OK) recoupe le cercle en M. Soit M' l'image de O dans la translation de vecteur MK :

OM' = MK

La cissoïde est le lieu géométrique de M' (ensemble des points M') lorsque K décrit (t).

Étude :    

L'équation polaire du cercle est r1 = -2acost. L'abscisse de M est xM = r1cost = -2acos2t. OK = rK vérifie OC = rKsint, donc rK =a/sint. D'où CK = xK = acost/sint. L'angle t n'est nul que pour K à l'infini sur (t), donc pas de souci !

L'application de la propriété de Thalès fournit dans tous les cas de figure, autre que K en C, l'égalité KC/KH = KO/KM ou encore : CK/HK = OK/OM'. On a HK = xK - xM. Posons alors r = OM' :

xK/(xK - xM) = rK/r      rK/r = rKcost/(rKcost +2acos2t)      1/r = 1/(a/sint + 2acost)

r = a/sint + 2acost

On remarque que x + y = r(cost + sint), donc (x + y)2 = r2(1 + sin2t). Or y = rsint = a(1 + sin2t) et r2 = x2 + y2. On obtient donc l'équation cartésienne :

y(x2 + y2) =a (x + y)2

La cissoïde est donc une cubique circulaire admettant un point de rebroussement à l'origine.

Ci-dessous, la cissoïde d'équation r = 1/sint + 2cost  (a = 1) vue par Graphmatica :

Lorsque t tend vers 0 ou π, le point K s'éloigne à l'infini sur la tangente en B. Les deux branches de la courbe sont donc infinies. Mais y = a(1 + sin2t) tend vers a : la parallèle à (Ox) d'équation y = a (rayon du cercle) est asymptote à la courbe.

Génération de la courbe de façon dynamique :   

La cissoïde est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet. On remarquera que la cissoïde de Dioclès, ou cissoïde droite, est obtenue lorsque le point O se situe à la "verticale" de B : cas particulier où la courbe admet alors un axe de symétrie.


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez réduire agrandir le cercle et/ou déplacer O sur le cercle. Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


© Serge Mehl - www.chronomath.com