ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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La cissoïde                Cissoïde de Dioclès

Dans un repère orthonormé (O,Ox,Oy), on considère le point A(-2a,0), le point B(-a,a), la tangente (t) au point B, K un point quelconque de (t).

La droite (OK) recoupe le cercle en M. Soit M' l'image de O dans la translation de vecteur MK :

OM' = MK

La cissoïde est le lieu géométrique de M' (ensemble des points M') lorsque K décrit (t).

Étude :    

L'équation polaire du cercle est r1 = -2acost. L'abscisse de M est xM = r1cost = -2acos2t. OK = rK vérifie OC = rKsint, donc rK =a/sint. D'où CK = xK = acost/sint. L'angle t n'est nul que pour K à l'infini sur (t), donc pas de souci !

L'application de la propriété de Thalès fournit dans tous les cas de figure, autre que K en C, l'égalité KC/KH = KO/KM ou encore : CK/HK = OK/OM'. On a HK = xK - xM. Posons alors r = OM' :

xK/(xK - xM) = rK/r      rK/r = rKcost/(rKcost +2acos2t)      1/r = 1/(a/sint + 2acost)

r = a/sint + 2acost

On remarque que x + y = r(cost + sint), donc (x + y)2 = r2(1 + sin2t). Or y = rsint = a(1 + sin2t) et r2 = x2 + y2. On obtient donc l'équation cartésienne :

y(x2 + y2) =a (x + y)2

La cissoïde est donc une cubique circulaire admettant un point de rebroussement à l'origine.

Ci-dessous, la cissoïde d'équation r = 1/sint + 2cost  (a = 1) vue par Graphmatica :

Lorsque t tend vers 0 ou π, le point K s'éloigne à l'infini sur la tangente en B. Les deux branches de la courbe sont donc infinies. Mais y = a(1 + sin2t) tend vers a : la parallèle à (Ox) d'équation y = a (rayon du cercle) est asymptote à la courbe.

= génération de la cissoïde = Pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure =

On remarquera que la cissoïde de Dioclès, ou cissoïde droite, est obtenue lorsque le point O se situe à la "verticale" de B : cas particulier où la courbe admet alors un axe de symétrie.


Vous pouvez réduire agrandir le cercle et/ou déplacer O sur le cercle.


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