ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Ellipse             Justification étymologique par l'équation rapportée à un sommet :

Définitions possibles :

1. En tant que section particulière d'un plan et d'un cône : 

L'hyperbole est une des trois coniques (du grec kônos) avec la parabole, et l'ellipse (dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un cône par un plan.

2. Définition monofocale par foyer et directrice :   

L'hyperbole est l'nsemble des points M du plan euclidien tels que MF/MH = e où H désigne la projection orthogonale de M sur une droite (d), dite directrice, et e > 1. Ce nombre e est appelé excentricité de la conique.

La droite perpendiculaire à (d) passant par F est l'axe focal : il s'agit ici de la droite (KF), K désignant la projection orthogonale de F sur (d). L'étude géométrique fait alors apparaître la présence d'un centre de symétrie et, par là, celles d'un second foyer F et d'une seconde directrice :

Étude générale de l'ensemble des points M tels que MF/MH = e :

3. Une définition bifocale :   

Étant donnés deux points F et F', appelés foyers (terme dû à Kepler), posons FF' = 2c et soit a strictement positif, a < c. L'ensemble des point M du plan tels que :

| MF - MF' | = 2a 

est une hyperbole d'axe transverse (FF') : axe focal. C'est aussi (AA') où A et A' désignent les sommets de l'hyperbole. On a AA' = 2a.


hyperbole de foyers F(4,0) et F'(-4,0) telle que | MF - MF' | = 4a 

La définition bifocale de l'hyperbole peut s'interpréter comme conséquence de sa génération au moyen d'un cercle directeur :

4. Définition au moyen d'un point fixe et d'un cercle directeur :  

L'hyperbole est l'ensemble des centres M des cercles passant par un point fixe, appelé foyer, et tangents extérieurement à un cercle fixe (c), dit cercle directeur. Ci-dessous les cercles de centre M passent par le foyer F et sont tangents en P au cercle directeur (c) de centre F', second foyer.

Notons 2a le rayon de (c) et soit P un point de ce cercle. L'ensemble existe si et seulement si F est extérieur à (c), soit si FF' > 2a et un point M de l'ensemble est obtenu en coupant [FP] par la médiatrice de [FP]. On a alors MF - MF' = MP - MF' = 2a (cas ci-dessus), ou bien : MF - MF' = MP - MF' = -2a (cas ci-dessous). On retrouve la propriété bifocale : | MF - MF' | = 2a.

La symétrie de la relation MF + MF' = 2a montre que l'on peut parler de cercle directeur associé au second foyer (échange des rôles).

A noter que le cercle directeur associé à un foyer est l'ensemble des symétriques du second foyer par rapport aux tangentes à l'ellipse :

  Animation :                      Tangente à l'ellipse, propriétés de la tangente :

5. Définition en tant que courbe algébrique du second degré :   

L'équation générale des courbes algébriques du second degré est de la forme :

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 , (a,b) ≠ (0,0)

Un changement de repère conduit à une équation du type Y2 + AX2 = K, fournissant une hyperbole dans le cas A < 0 dont l'équation réduite est de la forme :

Les deux hyperboles associées à cette forme sont dites conjuguées. Elles ont les mêmes asymptotes d'équations y = ± bx/a :


x2/9 - y2/4 = 1 (en rouge) et y2/4 - x2/9 = 1 (en vert)

Étude de l'équation générale :                          Coniques & équations réduites :

L'hyperbole équilatère ou homographie :


l'hyperbole d'équation y = (2x - 3)/(x + 2)

Dans un repère orthonormé les branches d'une telle hyperbole sont isométriques (on dit aussi équilatères provenant du latin aeque = pareillement et latus, lateris = côté), les asymptotes sont perpendiculaires.

  • Nom de la fonction associée : homographie ou fonction homographique

  • Equation cartésienne : y = (ax + b) / (cx + d)

  • Forme réduite : Y = k/X par changement de variable X = cx + d et Y = y -a/c, k = (bc-ad)/c.
      Noter que 1/x, inverse de x, simple fonction rationnelle très élémentaire (a = d = 0, b = c = 1)  est la fonction dérivée du logarithme népérien, fonction transcendante découverte par Neper.


l'hyperbole équilatère y = 1/x

  • Etymologie : l'appellation homographie est due à Chasles, du grec homos = semblable et grafein = écrire, grafixê = dessin, car l'hyperbole possède deux branches identiques (symétriques).

  • Périodique : non.

  • Ensemble de définition : R - {d/c}, d'où la présence d'une asymptote "verticale".

  • Fonction dérivée : (bc-ad)/(cx + d)2 ; fonction dérivée de la forme réduite : -k/X2 

Équation cartésienne rapportée à un sommet y2 = 2px - px2/a :

 Notons que la représentation graphique d'une fonction f de type f(x) = (ax2 + bx + c)/(kx + m) est généralement une hyperbole (non équilatère) :


  Applications :      

  • Trajectoires de certaines comètes dont la masse et la vitesse ne permettent pas au Soleil de les conserver en orbite elliptique.

  • Tuyaux sonores, cordes vibrantes (fréquence inversement proportionnelle à la longueur)

  • Mécanique (transmission par engrenages hyperboliques)

  • Optique (miroirs de Fresnel, franges d'interférence, autrefois étudiées en Math Elem...).

On peut aussi considérer l'hyperboloïde en tant que volume engendré par la rotation d'une hyperbole autour de son axe de symétrie. On peut l'obtenir en tant que surface réglée : sa structure extrêmement solide est utilisée dans les châteaux d'eau et les cheminées de refroidissement des réacteurs nucléaires.

 Notons enfin que par inversion géométrique, l'hyperbole équilatère se change en une lemniscate de Bernoulli lorsqu'on choisit son centre comme pôle.

Équation paramétrique  :                       Équations polaires :


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