ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Point de Fermat-Torricelli          solution géométrique           solution mécanique

On considère un triangle ABC dont aucun angle n'égale ou ne surpasse 120°. Soit M un point intérieur au triangle ABC. Où doit se trouver M afin que la somme de ses distances aux trois sommets du triangle, c'est à dire MA + MB + MC, soit minimale ?

On démontre que si un angle, ^A par exemple, mesure ou surpasse 120°, alors le point cherché est en A. On se propose d'apporter ici une solution partielle de ce problème utilisant une propriété remarquable de la normale en un point d'une ellipse.

 En s'aidant de la figure ci-dessous, on montrera facilement que si le problème de Fermat possède une solution, elle ne peut être extérieure au triangle ABC : c'est à dire qu'elle est située soit à l'intérieur du triangle ABC, soit sur son pourtour.

 Soit M une solution éventuelle. Il est situé sur une ellipse (e) de foyers B et C dont l'intérieur ne contient pas A. Sur cette ellipse la somme MB + MC est constante et MA + MB + MC sera alors minimum si MA est minimum, donc si (MA) est la normale (n) en M à l'ellipse : perpendiculaire à la tangente (t) au point M.

  Or, on sait (théorème de Poncelet) que la normale en M est bissectrice intérieure de l'angle ^BMC. Dans ces conditions :

^BMn = ^nMC

  En raisonnant de même sur les côtés [AB] et [AC], on déduit des considérations ci-dessus que si le point cherché I existe, il vérifie :

 ^BIC = ^CIA = ^AIB = 120°

Construction (figure animée CabriJava) :

 Un tel point I est géométriquement constructible : point de Fermat du triangle. La question porte alors sur l'unicité : soit f la fonction qui à tout point M associe le nombre MA + MB + MC :

Le problème admet intuitivement une solution mais la preuve de cette existence n'est pas simple. En mathématiques supérieures, on le prouve très simplement en remarquant que la fonction f : M MA + MB + MC est continue sur la partie compacte constituée de l'intérieur du triangle et de sa frontière et qu'elle admet donc un minimum sur cette partie.

Exercice (lien analogique) :  Solution mécanique du point de Fermat-Torricelli :

 Pour en savoir plus :


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