ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Relation d'ordre, ensembles et structures ordonnés     » Relation d'équivalence
    
»
majorant, minorant, bornes | préordre | bon ordre | treillis | ordre lexicographique | ordre total | groupes ordonnés | anneau et corps ordonnés

Dans un ensemble E, on appelle relation d'ordre une relation binaire, notée ici R à la fois :

 !  Une relation symétrique (comme dans le cas des relations d'équivalence) exprime que si xRy alors yRx. Les concepts de relation symétrique et de relation antisymétrique ne sont pas antinomiques. Voici deux cas, certes très à la marge... : tout d'abord la relation d'égalité dans tout ensemble : xRy ssi x = y est manifestement symétrique et antisymétrique; considérer maintenant la relation S définie dans Z par xSy ssi xy = 1...

   Certains mathématiciens expriment x ≤ y par x est inférieur à y, en signifiant ainsi un sens large (égalité possible). Un langage plus concis mais qui peut être ambigu pour ceux préférant entendre ainsi x < y (inférieur strictement)

1. Réflexivité : ∀aN, a|a car a = 1 × a.
2. Antisymétrie :
si a|b et b|a, il existe k et k' dans N tels que b = ka et a = k'b, par suite kk' = 1 et, dans N, cette égalité implique k = k' = 1, donc a = b.
3. Transitivité : si a|b et b|c, il existe k et k' dans N tels que b = ka et c = k'b, par suite c = kk'a, kk'
N, donc a|c.

 !  On  peut parler de divisibilité dans Z* mais dans cet ensemble la relation n'est pas antisymétrique car kk' = 1 peut se produire pour k = k' = -1, ce qui conduit à a = -b. Ce n'est plus une relation d'ordre.


1. Soit R1[x], l'ensemble des polynômes unitaires (le coefficient du monôme de plus haute degré est 1) d'une variable x à coefficients réels. On dit que a divise b, s'il existe q dans R1[x] tels que pour tout x, b(x) = a(x)q(x). Montrer que l'on définit ainsi un ordre partiel dans R1[x].


2. Soit (E,*) un ensemble muni d'une loi de composition interne commutative notée *. On pose xRssi  a*b = a.
Montrer que l'on définit ainsi un ordre sur E.

3. Montrer que si f est une application idempotente d'un ensemble E dans lui-même (f o f = f), la relation définie par
xRssi  y = f(x) est antisymétrique et transitive. A quelle condition sur f sera-t-elle réflexive ?

Ordre strict :   

La relation usuelle <, souvent dite d'ordre strict, n'est cependant pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive. L'antisymétrie n'est cependant pas en défaut puisque les inégalités a < b et b < a ne peuvent avoir lieu conjointement.

A toute relation d'ordre , on peut associer une relation d'ordre strict, noté ici s par :

a s b  ⇔  a b  et a ≠ b        » ordre lexicographique

Intervalle ouvert, intervalle fermé : »

Ordre réciproque :

Si R est un ordre sur E, la relation R' (souvent notée R-1) définie par :

xR'y yRx

est un ordre sur E, dit ordre réciproque de R.

 En savoir plus sur les relations d'équivalence : »  

Ensembles ordonnés, éléments comparables, ordre partiel, total, dense, intervalles, encadrements :

La structure d'ensemble ordonné (ensemble muni d'une relation d'ordre) a été mise en place dans le cadre de la théorie des nombres par Cantor et Dedekind.

Ordre partiel, ordre total :      

Il se peut, que l'on ait ni x R y, ni y R x : on parle alors d'ordre partiel; sinon, l'ordre est total :

∀ (x,y) ∈E × E : xRy  ou  yRx

On use, avec un sens évident des locutions E est partiellement ordonné par R, E est totalement ordonné par R.

Intervalles & encadrements :      

Dans un ensemble totalement ordonné (E, ≤), on parle d'intervalle [a,b] pour désigner l'ensemble des éléments x de E vérifiant la « double inégalité » : a  ≤ x  ≤ b. On parle aussi d'encadrement de x. Si les bornes a et b ne doivent pas être comprises, on notera a < x < b x est strictement compris entre a et b.

Intervalle ouvert, intervalle fermé : »             


Encadrements (d'une somme, d'un produit, d'un quotient)

Ordre dense :      

Un ordre total R dans un ensemble E est dit dense si pour tout (x,y) tel que xRy, il existe z dans E tel que xRz et zRy

Ordre induit :

Si R est un ordre sur E et F une partie de E, la restriction à F de la relation R est un ordre sur F, dit ordre induit par R dans F.


On munit N de l'ordre partiel "divise" : a|b ⇔ b est multiple de a.
Montrer que la restriction de cet ordre à F = {n ∈N, n = 2p, p∈N} est un ordre total dans F.

Préordre :

On munit Z de la relation divise : a | b ⇔ b = k × a avec k∈Z. On vérifiera sans peine que cette relation est réflexive et transitive mais n'est ni symétrique ni antisymétrique : on parle de relation de préordre. Restreinte à N, c'est une relation d'ordre partiel.


On munit l'ensemble des vecteurs du plan de la relation, notée , définie par : u v  ssi  || u || ≤ || v ||
Montrer que l'on définit ainsi une relation de préordre  en exhibant un contre-exemple pour la propriété d'antisymétrie.

Majorant, minorant, ensemble majoré, minoré, ensemble borné :

Soit (E, ) un ensemble ordonné et F une partie de E.

  S'il existe un élément m de E tel que x m pour tout x de F, on dit que m est un majorant de F dans E ou encore que F est majorée par m. Si l'on a, au contraire, m x pour tout x de F, on parle de minorant et de partie minorée.

  La partie F sera dite bornée si elle admet un majorant et un minorant.

Plus petit élément, plus grand élément :      

  Si un majorant (resp. minorant) d'une partie F de E est élément de F, il est le seul à posséder cette propriété : on l'appelle le plus grand (resp. plus petit) élément de de F pour la relation .

Preuve : supposons, par exemple, l'existence de deux majorants : on aurait, dans F, x m et x m' pour tout x de F et en choisissant x = m puis x = m',on obtient m = m' par antisymétrie.

On peut aussi énoncer : s'il existe un élément m de E inférieur (resp. supérieur) à tous les éléments de E (au sens de la relation ), on dit que m est le plus petit (resp. plus grand) élément de E. De tels éléments sont uniques.

Borne supérieure, borne inférieure :      

Lorsqu'une partie F est majorée (resp. minorée), le plus petit des majorants (resp. le plus grand des minorants), s'il existe, est appelée borne supérieure (resp. borne inférieure) de F.

 !  Un ensemble peut être borné sans pour autant admettre une borne supérieure ou inférieure :

Dans l'ensemble Q des nombres rationnels (fractions a/b, a et b entiers, b non nul) muni de l'ordre usuel, considérons la partie :

F = {x ∈Q, x ≥ 0, x2 ≤ 2}

F est manifestement majorée, par exemple par 3/2 ou 2. Mais F n'admet pas de borne supérieure. En effet, supposons l'existence d'une borne supérieure m pour F; m est rationnel, il est le plus petit des majorants de F. On peut donc écrire :

(1)   ∀x∈F, x ≤ m      et     (2)     ∀ M, M majorant de F, m ≤ M

(2) permet d'affirmer :

 ∀∈Q, ε > 0, ∃ xo∈F / m - ε < xo ≤ m

Il s'ensuit que pour ε tout rationnel vérifiant 0 < ε ≤ m, on a (m - ε)2 < 2 et, par conséquent : ε2 - 2mε + m2 - 2 < 0 pour tout ε de l'intervalle rationnel ]0,m]. Si nous résolvons cette équation dans R, on voit qu'elle n'admet des solutions que si m ≤ √2.

Or on sait que √2 n'est pas rationnel. Ainsi m est un rationnel vérifiant m < √2. En tant que partie de R, les majorants M de F vérifient l'inégalité M ≥ √2 et les majorants de F dans Q sont alors les rationnels vérifiant M > √2 et en particulier m > √2. Les inégalités m <  √2 et m > √2 étant incompatibles, F n'admet pas de borne supérieure.

Cas des nombres réels, théorème de Bolzano-Weierstrass : »            Théorème de la borne supérieure : »        

Élément maximal, élément minimal :

Soit (E, ) un ensemble ordonné. S'il existe dans E un élément m tel que tout x de E, comparable à m (et autre que m) lui soit inférieur (resp. supérieur) au sens de la relation , on dit que m est un élément maximal (resp. minimal). Lorsque l'ordre de E n'est pas total, il peut exister plusieurs éléments maximaux ou minimaux.

Si (E, ) admet un plus petit (resp. grand) élément m, alors m est l'unique élément minimal (resp. maximal) de E pour la relation .

Ensemble filtrant, ensemble réticulé, treillis :

Si, dans l'ensemble ordonné (E,), toute paire {x,y} d'éléments de E admet un majorant (resp. minorant), E est dit filtrant supérieurement (resp. inférieurement).

Toute partie finie d'un ensemble filtrant supérieurement (resp. inférieurement) est majoré (resp. minoré).


Soit (E,*) un ensemble muni d'une loi interne * commutative. On pose x R y  ssi  a*b = a.
R
est un ordre sur E. Vérifier que E est filtrant inférieurement en montrant que l'on a pour toute paire {a,b} :
(a*b) R a et (a*b) R b

Treillis :    

On appelle ensemble réticulé ou treillis, notion initiée par Skolem, un ensemble ordonné (E, ) dans lequel toute paire {x,y} d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure.

 !  Un réticule, du latin reticula = petit filet, désigne un petit sac à main constitué par un maillage fin de fils croisés. Tomber dans les rets = tomber dans les filets a la même origine. Dans un sens similaire treillis provient de trichila = tonnelle, panneau en fils ou baguettes croisées supportant de la végétation. Le treillis militaire imitant la végétation proviendrait de trilix = trois fils pour désigner une toile grossière.

Ordonné par la relation d'inclusion, l'ensemble des parties d'un ensemble E  est un treillis

Preuve : si l'on considère deux parties P et Q de E :


Treillis des parties d'un ensemble de 3 éléments

Ordonné par la relation de divisibilité, l'ensemble N des entiers naturels est un treillis.

Preuve : l'entier c majore {a,b} ssi a | m et b | m, donc sup(a,b) =... et inf(a,b) = ...  (mots clés = pgcd, ppmc...).

Treillis complet :    

Si toute partie non vide de (E,) admet une borne inférieure et une borne supérieure, on dit que E est complètement réticulé ou, simplement, complet.

Théorème des points fixes de Tarski : »    Théorème de Bolzano-Weirerstrass : »       Espace de Riesz : »

Dans un treillis, on a les lois d'absorption, à savoir :

inf(x,sup(x,y)) = sup(x,inf(x,y)) = x

Pour mieux appréhender ce résultat, notons inf(x,y) = x∧y et sup(x,y) = x∨y en remarquant que cette notation fait apparaître ∧ et ∨ comme deux lois de composition internes commutatives. Les lois d'absorption s'écrivent :

x∧(x∨y) = x∨(x∧y) = x

Un treillis est dit distributif si les lois inf et sup sont distributives l'une par rapport à l'autre :

x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z)    et   x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z)

Un treillis est dit complémenté s'il admet un plus petit élément m (improprement dit nul), un plus grand élément M (dit universel) et si tout élément x admet un élément x (également noté ¬ x) dit complémenté de x tel que x∧x = inf(x,x) et x∨x = sup(x,x). Noter que :

Illustration : Sur les schémas ci-dessous, représentatifs de deux treillis, appelés diagrammes de Hasse, une flèche d'un élément x vers un élément y signifie x ‹ y :


Il n'y a que 3 treillis distributifs pour un ensemble de 5 éléments. Mise à part la chaîne, quels sont les deux autres?

On appelle treillis de Boole ou algèbre de Boole un treillis distributif et complémenté.


Montrer que dans un treillis de Boole, le complémenté est unique. Rép. : clic...

   L'ensemble des parties d'un ensemble E ordonné par la relation d'inclusion est un treillis de Boole : ci-dessous, la représentation du treillis des parties de l'ensemble E = {a,b,c,d} structurée par la relation d'inclusion. On parle du simplexe des parties de E.

On sait que le nombre de parties d'un ensemble de cardinal n est égal à 2n. Partant du simplexe de l'ensemble {a,b,c}, en lui ajoutant un 4ème élément d, le nombre de parties double. On obtient alors le simplexe de {a,b,c,d} par dédoublement consistant à ajouter l'élément d à chaque partie de {a,b,c}.

Géométriquement le simplexe de {a,b,c} s'interprète comme un cube dont chacun des 23 = 8 sommets s'identifie à une partie de E = {a,b,c,d}. On peut considérer son simplexe comme un polytope (» convexité) d'un espace à 4 dimensions (24 = 16 sommets).

Par homéomorphie, on peut aussi l'interpréter en tant que perspective d'un hypercube de l'espace quadridimensionnel en "diminuant" (par homothétie de rapport < 1) le simplexe des parties de  {a,b,c} et en le "glissant" (par translation) dans celui des parties de {a,b,c,d}.

»  Boole , Gardner , Coxeter , Stone

   Un treillis de Boole est aussi un anneau commutatif unitaire : il suffit de poser x + y = (x∨y)∧(xy) et xy = x∧y. Le plus petit élément m est neutre pour l'addition et M est neutre pour la multiplication.

                  Algèbres et anneaux de Boole : »             Algèbre de Lindenbaum : »

Ordre produit :

Si (E,O) et F,O') sont deux ensembles ordonnés par les relations notées O et O', on peut ordonner le produit cartésien E x F par l'ordre T dit ordre produit de O et O' :

(a,b) T (c,d) (a O c  et  b O' d)
Relation de bon ordre, ensemble bien ordonné :

Un ensemble ordonné (E,) est dit bien ordonné si toute partie non vide de E admet un plus petit élément. La relation est alors qualifiée de bon ordre. (N, ≤) est bien ordonné mais non pas (Z, ≤). L'existence d'un bon ordre dans R, est assuré par le théorème de Zermelo selon lequel :

Tout ensemble peut être bien ordonné

est tributaire de l'axiome du choix. Quoi qu'il en soit, un tel ordre dans R n'a pas encore été exhibé.

En savoir un peu plus, bon ordre sur Z et Q : »               Bon ordre et nombres ordinaux : »

Ordre lexicographique (ordre alphabétique des dictionnaires) :

 Si ≤ est un ordre sur E, on peut munir E2 = E x E (ensemble produit) de l'ordre ainsi défini :

(a,b) (a',b') (a < a') ou bien (a = a' et b ≤ b')

Si l'ordre de E est total, alors l'ordre ainsi défini dans E2 l'est aussi. On peut généraliser la définition à En, n entier quelconque.

Groupe ordonné, valeur absolue :

Un groupe ordonné n'est pas seulement un groupe muni d'une relation d'ordre : un groupe (G,T) est dit ordonné lorsque :

  1. G est muni d'une relation binaire, notée ici , qui est un ordre dans G;
  2. L'ordre de G est compatible avec la loi T de G; autrement dit : si a b, alors  aTc bTc et cTa cTb quel que soit c dans G.

   La condition 2 peut se résumer en disant que la loi T est isotone (mot à mot même ton pour signifier qui ne renverse pas l'ordre). Par ailleurs, certains mathématiciens exigent que la loi de G soit commutative (groupe abélien).

On note généralement (G,T,) un groupe ordonné par l'ordre . Si cet ordre est total, on dira que de (G,T,) est totalement ordonné.

   La condition 2 s'exprime bien entendu aussi avec tout c-1, symétrique de c :

En notation additive, en notant aTb-1 = a - b :

Si a b  alors : a + c b + c , c + a c + b et a - c = b - c

En notation multiplicative, en notant aTb-1 = a/b :

Si a b alors ac bc , ca cb et a/c b/c

 !  Faux dans Z, Q et R si on ne se retreint pas aux nombres positifs  !  
Comme déjà dit, même privés de 0, (Q*,×,≤) et (R*,×,≤) ne sont pas des groupes ordonnés !

Propriété fondamentale d'un groupe ordonné :    

Dans un groupe ordonné, Si a b  et  c d, alors  aTc bTd       (pf)
en notation additive : si a  <  b  et  c  <  d, alors  a + c  <  b + d                 

Preuve : a b et c d entraînent d'une part aTc bTc, d'autre part bTc bTd et le résultat est acquis par transitivité.

En conséquence : 

Dans un groupe ordonné d'élément neutre e, Si a e  et  b e, alors  aTb e       (c1)
en notation additive : si a < 0  et  b  <  0, alors  a + b 0

Dans un groupe ordonné d'élément neutre e, Si a e  alors  a-1 e       (c2)
en notation additive : si a < 0 , alors  - a > 0               

Valeur absolue :   

On peut alors définir la valeur absolue d'un élément par | x | comme le "plus grand" des deux éléments x et -x, c'est à dire :

 

En savoir plus sur la notion de valeur absolue : »

Anneau et corps ordonnés :

On dit qu'un anneau ou un corps (A,+,×) d'élément nul θ est ordonné par une relation d'ordre définie dans A pour exprimer que :

1. Le groupe additif (A,+) est un groupe ordonné :

si a b, alors pour tout c de A, on a : a + c b + c  (et par suite a - c b - c).

2. A+ désignant l'ensemble des éléments a de A tels que θ a : si θ x  et  θ y  alors  θ x × y.

» les éléments de A+sont les éléments positifs de A; on peut aussi écrire x θ au lieu de θ x au moyen de l'ordre  réciproque (x θ  ssidef  θ x), et la condition 2 s'écrit alors :

Si x θ et y θ, alors x × y θ

On peut résumer les conditions 1 et 2 en disant que l'ordre de A est compatible avec l'addition du groupe (A,+), et avec la seconde loi de A restreinte aux éléments positifs, i.e. la multiplication dans (A+,×).

Remarques :   

Le seul ordre total de (Z,+,×) prolongeant l'ordre usuel de N est :

x ≤ y si et seulement si x - y ∈N


On définit dans Z la relation binaire : x y ⇔ y - x est pair. Prouver que muni de cette relation,
(Z,+,
x) est un anneau partiellement ordonné dans lequel les éléments positifs sont les nombres pairs.

On prouvera aisément les résultats suivants :

Proposition 1 :    

Dans un anneau ordonné (A,+,×,),  si a b  et x θ, alors  ax bx  et  xa xb

Proposition 2 :    

Dans un anneau ordonné (A,+,×,), on a la règle des signes :      
   x θ , y θ   xy θ    et   x θ , y θ    xy θ      
(p2)

Proposition 3 :    

Dans un anneau totalement ordonné (A,+,×,), on a x2 θ pour tout x (les carrés sont positifs)   (c3)

Corollaire :    

Dans un anneau unitaire ordonné (A,+,×,) d'élément neutre unité I, on a I θ.

Proposition 4 :    

Dans un corps ordonné (K,+,×,), soit x θ et x' l'inverse de x, alors  x' θ.

 

Proposition 5.1 :   

Soit un corps (K ,+, ×, ) ordonné,
alors pour tout (a,b) de K
2 tels que a b il existe une infinité d'éléments c tels que
a c  b.

Preuve : Dans un corps, tout élément admet un inverse pour la multiplication : I désignant l'élément unité de K , pour tout a de K, il existe un unique a' tel que aa' = I. La proposition est établie si on trouve au moins un élément c de K tel que a c b. Or, pareillement au cas de R avec la moyenne arithmétique de a et b, à savoir (a + b)/2, c'est à dire a + b multiplié par l'inverse de 2 = 1 + 1, choisissons c = (a + b)/(I + I). Notons u = I + I et u' l'inverse de u. On a c = (a + b)/u. On sait que I 0, donc u = I + I 0 et u' 0 (prop. 4). Ainsi c - a = (a + b)/u - a = (a + b)u' - a est du signe de a + b -au en composant par u' : d'où a + b -au = a + b -a(I + I) = b - a  0. De même b - c 0. Finalement a c   b.

»  En fait, on travaille dans un corps abstrait (K ,+, ×) tout comme dans (R ,+, ×) tout en prenant garde à l'ordre des éléments si K n'est pas commutatif. Cette remarque simplifie alors considérablement les calculs précédents.

Par contraposition, on obtient le résultat suivant :

Proposition 5.2 :   

Un corps fini ne peut pas être ordonné

 !   Là encore, rappelons qu'il faut distinguer l'ordre d'un ensemble E et la structure ordonnée de E (groupe, anneau, corps) comme dit ci-dessus.

Considérons le cas de l'anneau Z/11Z des classes résiduelles modulo 11 qui est un corps puisque 11 est premier. On peut bien sûr ordonner Z/11Z = {0, 1, 2, ..., 10} par x y si et seulement si x ≤ y. Mais Z/11Z n'est pas un corps ordonné : on a 3 6 et en multipliant les deux membres de cette inégalité par 2, on obtient 2 × 3 2 × 6, c'est à dire , ce qui est faux car 12 = 1 : la proposition 1 n'est pas vérifiée.

Remarque concernant le corps C des nombres complexes :

L'ensemble des nombres complexes peut être muni d'un ordre total au moyen de l'ordre lexicographique (ordre alphabétique des dictionnaires) :

si z = x + iy  et  z' = x' + iy' : z z'  (x < x')  ou  (x = x' et y y')

Mais on parle ici de l'ensemble C, non pas d'un ordre lui conférant la structure de corps ordonné : supposons qu'un ordre dans C "fasse" de i un élément positif : i 0; selon l'axiome 2 :  i × i 0, c'est à dire -1 0 et selon (c2) : 1 0, ce qui est déjà choquant eu égard à (c3), et ce qui implique i 0 en multipliant par i 0 !..


Dans C, si z = x + iy et z' = x'+iy', on pose z z' ⇔ (x ≤ x'  et  y = y'). Montrer que muni de cette relation binaire,
C
est un corps ordonné mais non totalement ordonné (chercher à comparer 0 et i).
 

Valeur absolue et module d'un nombre complexe : »


   Pour en savoir plus :

  1. Leçons d'Algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961

  2. COURS DE MATHÉMATIQUES, Structures fondamentales, A. Donedu
    Classes préparatoires, 1er cycle universitaire - Éd. Vuibert - 1984 (Tome 1)
  3. ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES, Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, Livre I, Ed. Hermann
  4. Mathématiques spéciales, Tome 1, Algèbre, E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux Éd.Masson, Paris -1974.

  5. Description de l'hypercube sur YouTube :
    #1 : Stéréogramme 3D de l'hypercube : http://www.youtube.com/watch?v=LPLj7t1IVLk
    » observer l'image brouillée en louchant progressivement et en vous rapprochant lentement de votre écran.
    #2 : http://www.youtube.com/watch?v=ccws454YiVM
    #3 : http://www.youtube.com/watch?v=2pRZCoWY6TU


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