ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

TANIYAMA Yutaka, japonais, 1927-1958

Ce mathématicien japonais (mort prématurément : il se suicida) fut projeté dans les feux de l'actualité lors de l'annonce de la démonstration du grand théorème de Fermat par le mathématicien Andrew Wiles en juin 1993.

  Source du portrait : http://en.wikipedia.org/wiki/Yutaka_Taniyama

Les travaux de Taniyama portèrent sur la théorie des nombres algébriques et sur les variétés abéliennes, généralisation des courbes elliptiques.

Une de ses conjectures affirmait le lien étroit entre les formes modulaires ( ci-après) et les courbes elliptiques (1955), domaines que l'on croyait séparés jusqu'alors :

Toute courbe elliptique sur Q est modulaire

Une courbe elliptique sur Q est donnée dans le plan par une équation polynomiale y2 = x3 + ax + b avec a et b rationnels, et n'ayant pas de zéro double dans C.

La preuve de cet énoncé sibyllin, faisant intervenir les courbes elliptiques, donc un aspect géométrique au sein de la théorie analytique nombres, est extrêmement complexe. On savait, depuis quelques décennies, avec les avancées en géométrie algébrique, que la clé de la preuve du "théorème" de Fermat reposait sur cette conjecture. Une preuve partielle de la conjecture, par Wiles en  1994, a suffi pour débloquer celle du fameux grand théorème.

La conjecture de Taniyama est également dite de Taniyama-Shimura-Weil car Shimura fut ami de Taniyama et étudia avec lui sur le même sujet. André Weil l'étudia avec Shimura à Princeton (USA) et la fit connaître en Europe en 1966.

Forme modulaire :

Nous sommes là dans un domaine particulièrement ardu des mathématiques actuelles sur lequel se penchèrent auparavant, et en particulier, Klein et Hurwitz.

Une forme modulaire est, grosso modo, une fonction modulaire holomorphe.

Une fonction modulaire est une fonction automorphe relativement au groupe modulaire, lequel est constitué des substitutions modulaires... Tout cela est fort difficile à définir et à exposer... Une définition naïve, parfois rencontrée, comme :

fonction complexe f vérifiant f [(az+b)/(cz+d)] = (cz+d)p x f(z)

où p est le poids de f, n'apporte aucune information pertinente quant à la théorie et au rôle de ces fonctions ! On pourra consulter les références 2 et 3 ci-dessous pour un développement étoffé de ce sujet.

André Weil , Shimura Goro , Andrew Wiles


Pour en savoir plus sur ce difficile sujet :

  1. Formes modulaires, in Cours d'arithmétique, Jean-Pierre Serre, ch. 7, Éd. P.U.F., 1970 :
  2. Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, Courbes elliptiques et formes modulaires : un article très complet et accessible (niveau maîtrise) de l'Encyclopédie Universalis (version DVD depuis l'édition 2002)  : Encyclopaedia Universalis 2011
  3. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, Jean Dieudonné, Ch VII - Fonctions modulaires et fonctions automorphes
    chapitre rédigé par Christian Houzel, Ed. Hermann - 1978 ,1992.
  4. La conjecture de Shimura-Tanyama-Weil, par Christophe Breuil (univ. Paris-Sud) :
    https://www.math.u-psud.fr/~breuil/PUBLICATIONS/Universalis.pdf
  5.  A lire comme un roman : Le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh, Éd. Pluriel, Paris, 1998


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