ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Solides d'Archimède (polyèdres semi-réguliers convexes)
 
     Polyèdres semi-réguliers étoilés : Coxeter

On appelle ainsi les polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers convexes d'au moins deux types parmi les triangles équilatéraux, carrés, pentagones réguliers, etc. Ils furent étudiés par Archimède et sont aussi qualifiés de semi-réguliers convexes. Le fait de posséder au moins deux types distincts de face permet d'exclure les polyèdres réguliers de Platon dont les côtés ont même mesure et présentent en chaque sommet la même configuration. Hormis les prismes et les antiprismes semi-réguliers en nombre infini, on ne compte que 13 polyèdres semi-réguliers convexes.

Ces polyèdres sont inscriptibles en ce sens qu'il existe une sphère contenant tous les sommets. Mais, contrairement aux polyèdres réguliers, ils n'admettent pas de sphère inscrite, c'est à dire une sphère qui leur soit intérieure et tangente à chaque face.

Cas des prismes et antiprismes semi-réguliers :    

Leurs ensembles (prismes et antiprismes) sont infinis puisque les bases sont des polygones réguliers à n côtés, avec n quelconque !

Prisme semi-régulier d'ordre 3 (bases triangulaires, 3 faces carrées :

                

  Perspectives de prisme (niveau 5ème/3ème)

 
Antiprisme semi-régulier d'ordre 4 (bases carrées, 8 faces triangulaires) :
 
    

  D'une façon générale, si les bases sont constituées d'un polygone régulier à n côtés, elles se correspondent par translation et rotation d'angle π/n (vissage).

L'axe de rotation contenant le centre des bases et dirigeant la translation. L'antiprisme possédera 2n faces latérales. En voici un second exemple :

L'antiprisme semi-régulier décagonal (base décagonale, 20 faces triangulaires) :

     

Le cuboctaèdre (6 faces carrées, 8 faces triangulaires) :

Un bel exemple de polyèdre archimédien constitué de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux de même côté que l'on peut construire facilement.

     
 
Le rhombicuboctaèdre (dit petit) :

Un très beau spécimen que ce rhombicuboctaèdre que l'on rencontre dans un tableau célèbre représentant Luca Pacioli dont l'aspect et le patron sont donnés ici. Il possède 26 faces : 18 carrés et 8 triangles équilatéraux

Cube tronqué :

II s'agit d'un cube dont on a rogné les bords, pareil aux dés de jeux. Un tel polyèdre est constitué de 6 octogones réguliers, carrés "rognés" aux sommets, et de 8 triangles équilatéraux. En voici la représentation 3D  et le patron :

                 

Les 13 polyèdres archimédiens :

 
Nom
Nb. de faces
Nature des faces

Tétraèdre tronqué

8

4 triangles, 4 hexagones

Cuboctaèdre

14

6 carrés, 8 triangles

Cube tronqué

14

6 octogones, 8 triangles

Octaèdre tronqué

14

8 hexagones, 6 carrés

Petit rhombicuboctaèdre

26

18 carrés, 8 triangles

Grand rhombicuboctaèdre

26

6 octogones, 8 hexgones, 12 carrés

Dodécaèdre tronqué

32

12 décagones, 20 triangles

icosidodécaèdre

32

12 pentagones, 20 triangles

Icosaèdre tronqué

32

12 pentagones, 20 hexagones

Cube camus ou adouci (snub cube)

38

6 carrés, 32 triangles

Petit Rhombicosidodécaèdre

62

12 pentagones, 30 carrés, 20 triangles

Grand Rhombicosidodécaèdre

62

12 décagones, 20 hexagones, 30 carrés

Dodécaèdre camus ou adouci (snub dodecaedron)

92

12 pentagones, 80 triangles
dur, dur, le patron !!!


Le dodécaèdre adouci et son patron vus par Polypro

L'Icosaèdre tronqué permet la fabrication des ballons ronds comme le ballon de football car gonflé au moyen d'une membrane interne, il est de ceux qui approchent le mieux la sphère :

               
Icosaèdre tronqué vu par Polypro


Cliquez sur le ballon


  Polyèdres (réguliers) de Platon , de Catalan , de Kepler , de Poinsot , de Johnson

Les cristaux, polyèdres de la nature :

  Pour en savoir plus :


© Serge Mehl - www.chronomath.com