ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Médiatrice, symétrie axiale, cercle circonscrit, inscrit, exinscrit          symétrie centrale

La notion de symétrie, au sens des transformations, est récente : milieu du 19è siècle avec le renouveau de la géométrie. Mais le concept est très ancien et était déjà cher aux architectes et mathématiciens de l'antiquité. Le terme provient du grec sun = avec et metron = mesure pour signifier respectant la mesure et impliquant chez les Grecs l'idée d'harmonie.

Thalès est sans doute le premier mathématicien à établir des théorèmes (du grec theorema = ce que l'on observe, ce qui est avéré) en se fondant sur le principe intuitif de symétrie : un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables. C'est la première symétrie axiale constatée de l'histoire des mathématiques.                              

Les toutes premières propositions d'Euclide s'attachent à mettre en place les éléments de symétrie dans les triangles isocèles (du grec iso = égal et skelos = jambe) et équilatéraux. La bissectrice d'un angle se présente implicitement comme un axe de symétrie de l'angle.

Platon ne peut imaginer l'harmonie du Monde qu'au travers de l'existence des cinq célèbres polyèdres réguliers convexes présentant le maximum de symétries dans le plan et l'espace. Euclide les étudiera dans son livre XIII.

Les sculpteurs et architectes grecs et romains, comme Vitruve, voient dans la symétrie (symmetria) non seulement l'équilibre et l'harmonie du Monde mais aussi la solidité, la force, à l'image du corps humain. A la Renaissance, Leonard de Vinci s'inspirera de ces convictions gréco-romaines.

On a pu constater de nos jours la présence systématique de symétries dans les structures moléculaires et l'étude des cristaux, entreprise au 19è siècle conduit à des situations complexes de symétries par rapport à des droites et des plans.

Mais un excès de symétrie n'est pas toujours heureux et on peut préférer une symétrie moins évidente, en quelque sorte brouillée, comme cette rose dont la beauté, fruit d'un hasard ordonné, est plus émouvante !

Les concepts géométrique et algébrique de symétrie et de groupe se rencontrent également aujourd'hui en mécanique quantique et tend à expliquer la stabilité de la structure atomique de la matière depuis le Big-bang :

• particule et antiparticule : électrons et positons,

• quark et anti-quark

• opposition des pôles magnétiques

• principe d'action/réaction...

Dans un plan, on appelle médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu (passant par son milieu). Tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant (à égale distance) de ses extrémités (A droite : vous pouvez déplacer les points) :

Si M est situé sur (d), médiatrice de [AB], alors MA = MB

Inversement :

Étant donné un segment [AB] et un point M, si MA = MB, alors M est situé sur la médiatrice de [AB].

Dans l'espace, il existe une infinité de droites perpendiculaires au segment [AB] et passant par son milieu : elles constituent le plan médiateur de [AB].

Ci-dessus, le point B est l'image de A dans la symétrie par rapport au plan coloré en jaune. On parle parfois dans ce cas de réflexion.

Dans le plan ou l'espace, on appelle symétrie d'axe (d) ou symétrie par rapport à la droite (d), la transformation qui à tout point A associe le point B tel que (d) soit médiatrice de [AB] si A(d) et A lui-même sinon.

Château de Breteuil (début du 17è),  (Yvelines, France) . Si on omet le cas de quelques cheminées, on peut voir là une symétrie par rapport à un plan vertical.

On dit que B est le symétrique (ou l'image) de A dans la symétrie d'axe (d). Dans une telle symétrie axiale, les points de (d) sont invariants.

Comme la symétrie centrale, une symétrie axiale est une isométrie, en particulier :

• elle conserve les distances;      

• elle transforme une droite en une droite, un segment en un segment de même longueur, un cercle en un cercle de même rayon, etc.

• les images de points alignés sont alignées;

• elle conserve les milieux : le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment;

• elle conserve le parallélisme : les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles;
  mais une droite n'est en général pas transformée en une droite parallèle; les cas particuliers sont les droites parallèles ou perpendiculaires à l'axe.

• les angles géométriques sont conservés (un angle et son symétrique ont même mesure).

Dans le plan, les angles orientés sont changés en  leurs opposés mais non pas dans l'espace : une symétrie axiale par rapport à une droite (d) de l'espace est une rotation d'angle p autour de (d) :

 

Un magnifique exemple de symétrie : Le château de Cheverny (Loir et Cher, val de Loire), dont Hergé s'inspira
pour le château de Moulinsart du célèbre capitaine Haddock, en ne conservant que la partie
centrale et les deux ailes symétriques qui la borde.

Autres isométries : applications affines & isométries :             

   Médiatrice et cercles  exercice niveau 6ème/5ème  ,  Symétries axiales et somme des angles d'un triangle  niveau 6ème

Une figure géométrique (F) est dite posséder un axe de symétrie (d) si elle est globalement invariante dans la symétrie d'axe (d).

Par exemple : tout diamètre d'un cercle C est un axe de symétrie de ce cercle; les points s'échangent de part et d'autre du diamètre mais, globalement, la figure est inchangée : on obtient le même cercle et, dans la symétrie s d'axe (d), on est en droit d'écrire s(C) = C. Et pourtant, seuls les points I et J de C sont invariants.

  s(A) = A' et s(A') = A; s(B) =B' et s(B') = B; s(I) = I, s(J) = J. Une symétrie est une involution : c'est une bijection qui coïncide avec sa réciproque : s = s^-1.

Noter aussi que la bissectrice d'un angle (voir ci-après) est l'axe de symétrie de l'angle.

Axe de symétrie d'une courbe y = f(x) :        Symétrie dans les structures cristallines :

    Bissectrice, symétrie axiale & Losange  apprendre à démontrer

Exemple de symétrique d'une figure par rapport à une droite : le F majuscule :              animation

  On peut déplacer (d) ainsi que A et B

Cercle circonscrit à un triangle :               animation             Cercle circonscrit à une figure plane

Considérons un triangle ABC et les médiatrices des côtés [AB] et [AC]. Elles se coupent en un point O vérifiant OA = OB d'une part et OA = OC d'autre part. On en déduit OB = OC : le point O est donc également situé sur la médiatrice de [BC] :

Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes en un point situé à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit (du latin circum = autour et scriptum = tracé, écrit).

Une ligne plane brisée et fermée peut admettre un cercle circonscrit : tous ses sommets doivent appartenir à un même cercle. On dit que ces points sont cocycliques. Tel est le cas du rectangle et du carré et plus généralement de tous les polygones réguliers.

Rappelons ici une formule pratique liant les mesures des côtés d'un triangle ABC, a = BC, b = CA, c = AB, à celles de ses angles et du rayon R de son cercle circonscrit :

On a tracé ci-dessous un triangle ABC et ses trois hauteurs sécantes en H, orthocentre du triangle.

Dans un triangle, les symétriques de l'orthocentre par rapport à chacun des côtés est situé sur le cercle circonscrit.

    Etude du problème

Équation du cercle circonscrit :                        Cercle des neuf points :

Bissectrice d'un angle & cercle inscrit à un triangle :                 animation

Étant donné un angle ^xOy de sommet O, de côtés  [Ox) et [Oy), on appelle bissectrice de cet angle la demi-droite [Oz) partageant cet angle en deux angles superposables (de même mesure) ^xOz et ^yOz.

Vous pouvez réduire/agrandir l'angle (en agissant sur les côtés) et déplacer M

La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle et à l'instar de la médiatrice d'un segment : tout point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant (situé à égale distance) de ses côtés :

Si M est situé sur (Oz), bissectrice de ^xOy, alors MH = MK

Inversement :

Étant donné un segment ^xOy et un point M, si MH = MK, alors M est situé sur la bissectrice de ^xOy.

Considérons maintenant un triangle ABC et les bissectrices des angles ^ABC et ^BAC : ce sont les axes de symétrie de ces angles. Par suite, le point O en lequel elles se coupent est situé à égale distance des côtés [BA] et [BC] d'une part et [AB] et [AC] d'autre part. On en déduit que O est à égale distance de [CB] et [CA] : le point O est donc également situé sur la bissectrice de ^ACB :

Dans un triangle, les bissectrices des angles sont concourantes en un point situé à égale distance des trois côtés : c'est le centre du cercle inscrit (du latin inscribere = tracer, écrire dans) au triangle.

Une ligne plane brisée et fermée peut admettre un cercle inscrit : tous ses côtés doivent être tangents extérieurement à un même cercle. Tel est le cas du rectangle et du carré et plus généralement de tous les polygones réguliers.

Cercle inscrit et mesure des côtés d'un triangle

Cercles exinscrits à un triangle :                     animation

Considérons un triangle ABC et les bissectrices des angles extérieurs ^ABx et ^BAy : ce sont les axes de symétrie de ces angles. Par suite, le point O en lequel elles se coupent est situé à égale distance de [Bx) et [BA] d'une part et [Ay) et [AB] d'autre part. On en déduit que O est à égale distance de [Cx) et [Cy) : le point O est donc également situé sur la bissectrice de ^ACB :

Dans un triangle, les bissectrices de deux angles extérieurs et de l'angle intérieur restant sont concourantes en un point situé à égale distance des trois côtés  (ou de leurs prolongements) : c'est le centre du cercle exinscrit (du latin ex = à l'extérieur de et scribere = tracer, écrire dans). Il y a donc trois cercles exinscrits.

On remarquera que les bissectrices intérieures et extérieures sont perpendiculaires,
ce qui s'explique de façon très naturelle...

Feurerbach

Château de Chambord (1-è siècle), Loir et Cher, France      http://www.chambord.org/index.htm
Belle symétrie ? oui et non : il y a quelques erreurs sans doute volontaires...

Un petit problème axial  apprendre à construire  (bissectrice, symétrie axiale, cercle exinscrit)