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Hélice circulaire, géodésique du cylindre      le cylindre en tant que surface algébrique

Il y a bien longtemps déjà, on étudiait en Terminale C et E, une courbe de l'espace : l'hélice circulaire (du grec helix = spirale) dont la concrétisation est la célèbre vis d'Archimède (hélicoïde) ou tout simplement la vis à bois, le tire-bouchon, le ressort, l'escalier en colimaçon. Voici une autre façon de retrouver cette courbe.

Trajectoire hélicoïdale :   

On considère le cylindre droit à base circulaire schématisé ci-contre; on a placé deux points A et B sur celui-ci. Il s'agit de trouver le chemin minimal menant de A à B.

La cote d'un point M du cylindre sera ici la distance Mm où m désigne le projeté de M parallèlement à une génératrice du cylindre (c'est à dire le projeté orthogonal sur la circonférence de la base).

1. Étudier le cas où A et B ont la même cote.

2. Dans le cas de cotes distinctes, supposons le cylindre fabriqué en carton et déroulons-le (patron de cylindre). Quelle est donc la trajectoire cherchée ? Rappelons au passage que le patron d'un cylindre droit de rayon R de hauteur h est un rectangle de côtés h et 2πR (périmètre de sa base).  en savoir un peu plus.

3. Si l'on reconstitue le cylindre par "réenroulement", la cote z du point M ne change pas. Notons α l'angle que fait la droite (AB) avec la base déroulée du cylindre. Nous définissons un repère orthonormé (O, i, j, k) conforme à la figure ci-contre. Montrer que l'on a, en posant t = (i,Om) :

x = R.cost , y = R.sint , z = t.Rtanα

4. Inversement, supposons qu'un point M d'un cylindre droit décrive une courbe d'équation :

x = R.cost , y = R.sint , z = a.t   (a constant)        (e)

(e) est l'équation de l'hélice circulaire. Considérons un pont M' correspondant à un angle t'. Avec les notations précédentes, montrer que par déroulement, les points Ω, M et M' sont alignés.

    

  Le pas d'une hélice, c'est à dire la différence p de deux cotes z correspondant à M(t) et M(t + 2π), est constant :

p = a(t + 2π) - at = 2aπ

4. Une caractéristique de l'hélice est que la tangente en chacun de ses points fait un angle constant avec l'axe du cylindre. Vérifiez-le.

5. Montrer que la projection de l'hélice sur le plan parallèle à (O, j, k) est une sinusoïde dont une équation est de la forme y = R.sin(ωz) où ω est une constante que l'on précisera.

  On notera que :

  Son rayon de courbure est constant :

  Sa torsion (seconde courbure) est K/ρ.

L'hélice est ainsi une loxodromie du cylindre.

Courbe gauche, courbure, torsion : Hélicoïde : Clélies :


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