ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Hélice circulaire, géodésique du cylindre    » le cylindre en tant que surface algébrique

 ➔  Il y a bien longtemps déjà, on étudiait en Terminale C et E, une courbe de l'espace : l'hélice circulaire (du grec helix = spirale) dont la concrétisation est la célèbre vis d'Archimède, l'hélicoïde (nom masculin formé sur helix et oïdos = forme) que l'on retrouve tout simplement en la vis à bois, le tire-bouchon, le ressort, l'escalier en colimaçon. Voici une autre façon de retrouver cette courbe.

Trajectoire hélicoïdale :   

On considère le cylindre droit à base circulaire schématisé ci-contre; on a placé deux points A et B sur celui-ci. Il s'agit de trouver le chemin minimal menant de A à B.

1. Étudier le cas où A et B ont la même cote.

2. Dans le cas de cotes distinctes, supposons le cylindre fabriqué en carton et déroulons-le (patron de cylindre). Quelle est donc la trajectoire cherchée ? Rappelons au passage que le patron d'un cylindre droit de rayon R de hauteur h est un rectangle de côtés h et 2πR (périmètre de sa base).  » en savoir plus.

3. Si l'on reconstitue le cylindre par "réenroulement", la cote z du point M ne change pas. Notons α l'angle que fait la droite (AB) avec la base déroulée du cylindre. Nous définissons un repère orthonormé (O, i, j, k) conforme à la figure ci-contre. Montrer que l'on a, en posant t = (i,Om) :

4. Inversement, supposons qu'un point M d'un cylindre droit décrive une courbe d'équation :

(e) est l'équation de l'hélice circulaire. Considérons un pont M' correspondant à un angle t'. Avec les notations précédentes, montrer que par déroulement, les points Ω, M et M' sont alignés.

♦  Le pas d'une hélice, c'est à dire la différence p de deux cotes z correspondant à M(t) et M(t + 2π), est constant :

p = a(t + 2π) - at = 2aπ

• L'équation x = 2cost , y = 2sint , z = t/2 est celle d'une hélice circulaire de rayon 2, de pas égal à π.

4. Une caractéristique de l'hélice est que la tangente en chacun de ses points fait un angle constant avec l'axe du cylindre. Vérifiez-le.

5. Montrer que la projection de l'hélice sur le plan parallèle à (O, j, k) est une sinusoïde dont une équation est de la forme y = R.sin(ωz) où ω est une constante que l'on précisera.

 ➔   On notera que :

♦  Le rayon de courbure de l'hélice circulaire est constant :

♦  La torsion (seconde courbure) de l'hélice circulaire est K/ρ.

L'hélice est ainsi une loxodromie du cylindre.