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Hélice circulaire, géodésique du cylindre

Il y a bien longtemps déjà, on étudiait en Terminale C et E, une courbe de l'espace : l'hélice circulaire (du grec helix = spirale) dont la concrétisation est la célèbre vis d'Archimède (hélicoïde) ou tout simplement la vis à bois, le tire-bouchon, le ressort, l'escalier en colimaçon. Voici une autre façon de retrouver cette courbe.

Trajectoire hélicoïdale :   

On considère le cylindre droit à base circulaire schématisé ci-contre; on a placé deux points A et B sur celui-ci. Il s'agit de trouver le chemin minimal menant de A à B.

La cote d'un point M du cylindre sera ici la distance Mm où m désigne le projeté de M parallèlement à une génératrice du cylindre (c'est à dire le projeté orthogonal sur la circonférence de la base).

  1. Étudier le cas où A et B ont la même cote.
     

  2. Dans le cas de cotes distinctes, supposons le cylindre fabriqué en carton et déroulons-le (patron de cylindre). Quelle est donc la trajectoire cherchée ?
     

  3. Si l'on reconstitue le cylindre par "réenroulement", la cote z du point M ne change pas. Notons a l'angle que fait la droite (AB) avec la base déroulée du cylindre. Nous définissons un repère orthonormé (O, i, j, k) conforme à la figure ci-contre. Montrer que l'on a, en posant q = (i,Om) :

x = R.cos q , y = R.sin q , z = q Rtan a.

  1. Inversement, supposons qu'un point M d'un cylindre droit décrive une courbe d'équation :
     
    x = R.cos q , y = R.sin q , z = a.q   (a constant)        (e)

Soit un pont M' correspondant à un angle q'. Avec les notations précédentes, montrer que par déroulement, les points W, M et M' sont alignés. (e) est l'équation de l'hélice circulaire.

  Le pas d'une hélice, différence p de deux cotes correspondant à t et t + 2p, est constant. C'est ici p = 2ap. Utilisant le pas, l'équation s'écrit alors :

x = R.cos q , y = R.sin q , z = pq/2p

Une caractéristique de l'hélice est que la tangente en chacun de ses points fait un angle constant avec l'axe du cylindre. Vérifiez-le.

Son rayon de courbure est constant :

Sa torsion (seconde courbure) est K/r.

L'hélice est ainsi une loxodromie du cylindre. Montrer aussi que la projection de l'hélice sur le plan parallèle à (O, j, k) est une sinusoïde dont une équation est de la forme y = R.sin(wz) où w est une constante que l'on précisera.

Courbe gauche, courbure, torsion : Hélicoïde : Clélies :

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