ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Hauteurs d'un triangle      TD niveau 5è/4è      »  niveau 3ème , niveau 1èreS/TerS

On se propose de prouver le concours des hauteurs d'un triangle sachant que les médiatrices sont concourantes, c'est à dire qu'elles se rencontrent en un même point (H sur la figure ci-dessous), appelé orthocentre.

On s'intéresse ici au cas où les angles du triangle ABC sont aigus (leurs mesures ne dépassent pas 90°).
 

Voici la même figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si ton navigateur accepte les applets Java :
Tu peux déformer le triangle ABC en agissant sur ses sommets.

• On a tracé en rouge les hauteurs (AH), (BK) et (CL);

• On a tracé en vert les trois droites parallèles aux côtés du triangle passant respectivement par A, B et C;

• Ces trois droites forment un triangle MNP.

étape 1. Observe maintenant le quadrilatère MACB; ses côtés opposés sont .................... ; pourquoi ? MACB est donc un ............................. On en déduit MA = BC.

étape 2. Observe maintenant le quadrilatère ANCB; ses côtés opposés sont .................... pour les mêmes raisons que précédemment ! ANCB est donc un ............................. On en déduit AN = BC.

étape 3. Dans le triangle MNP, on peut maintenant affirmer que (AH) est la .......................... du côté [.....]. Pourquoi ?

étape 4. On pourrait prouver de même que (CL) est la ........................ du côté [......]; il suffit d'étudier les quadrilatères ............... et .................

étape 5. On pourrait enfin prouver que (BK) est la ........................ du côté [......]. Ok ?

Conclusion : les ................ du triangle ABC apparaissent comme les ........................ du ..............
MNP, Elles sont donc concourantes.

 ➔    Prolongement : étudier le cas où ABC admet un angle obtus, en A par exemple.