ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

SHANKS William, anglais, 1812-1882

Directeur d'un pensionnat à Houghton-le-Spring (au nord-est de l'Angleterre), ce mathématicien amateur se fit connaître par le calcul laborieux, entre 1853 et 1874, des décimales de π, où il en obtint 707 (un record pour l'époque) en utilisant le développement en série de Arctan (fonction arc tangente, également notée atan) déjà utilisé par Machin et conduisant à la formule : 


avec : Arctan x = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + ... + (-1)nx2n+1/(2n+1)

Il fallut attendre 1949, dans les tout débuts de l'informatique, pour connaître les 1000 premières décimales du célèbre nombre. Ce calcul prouva que les décimales de Shanks, qui ornaient le Palais de la Découverte à Paris depuis 1937, étaient fausses à partir de la 528 ème ! Elles sont depuis bien entendu corrigées.

En 1966, Jean Guilloud et Filliatre obtiennent, en France les cinq cent mille premières décimales. Puis, très vite, grâce aux ordinateurs puissants (IBM, CDC), le (les) millions(s).

En 1989, Gregory et David Chudnovsky, aux Etats Unis, obtinrent plus d’un milliard de décimales. Ce record est aujourd’hui largement dépassé par les japonais (1999, université de Tokyo sur un superordinateur HITACHI) avec 68 milliards de décimales...


Vidéo : conférence de Jean Brette (Palais de la découverte, 2004)

On sait, depuis 1882, grâce à Lindemann, que πest un nombre transcendant, ce qui laisse espérer un développement suffisamment aléatoire de ses décimales pour un usage dans des problèmes de statistiques (simulation) et de cryptage (messages codés). C’est dire que l’apparence ludique n’est pas le seul aspect de ce type de calcul.

Il existe un très grand nombre de séries convergeant vers π. Beaucoup utilisent le développement en série de la fonction Arc tangente (rappelé ci-dessus) :

Avec x = 1, on obtient :

π = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ...

Cependant cette série converge très lentement (série de Gregory) et les erreurs d'arrondi s'accumulent car les termes sont de plus en plus faibles. On peut accélérer la convergence en regroupant les termes 2 par 2 mais ce procédé reste encore peu efficace.

1000 décimales de π :                         Autres calculs de π :


Hesse  Laurent
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