ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale double & application au calcul d'une aire ou d'un volume
   
cas des coordonnées semi-polaires et application à la fenêtre de Viviani

L'exposé ci-après porte sur l'intégration au sens de Riemann et se veut élémentaire. Basé sur le cours de Mathématiques Supérieures de E. Stoffaes (Éd. Gauthier-Villars, 1930) qui fut, un demi-siècle plus tard, une de mes bibles en matière d'enseignement de l'analyse au niveau BTS industriel. Cela peut paraître "has been" mais il permet de donner en langage simple un sens à une intégrale "double" et d'exhiber une méthode de calcul. On peut généraliser la méthode à une intégrale triple ou, plus généralement, multiple.

L'intégrale de Riemann :

d'une fonction positive f d'une variable x sur un intervalle [a,b], permet de calculer l'aire d'une surface plane définie par a x b, 0 y f(x). Si nous considérons une fonction positive de deux variables du type z = f(x,y) avec 0 z f(x,y) et (x,y) décrivant un domaine plan D, on est conduit au calcul d'un volume et d'une intégrale, dite double, notée :

Mais une telle intégrale peut aussi calculer une aire plane ou courbe, tout comme l'intégrale simple permet le calcul d'une longueur :

Rectification d'un arc de courbe :

Introduction :

Tout comme on peut considérer un cercle comme limite d'une ligne polygonale (à la façon d'Archimède), une surface courbe (S) peut être considérée comme limite d'une surface polyédrique dont le nombre de faces augmentent indéfiniment tout en devenant infiniment petites, leurs plans se confondant à la limite avec le plan tangent en chaque point de (S). Cette dernière condition sera utilisée ci-dessous dans le calcul de l'aire d'une surface courbe.

 

On pourra comparer cette assimilation au cas de la rectification d'une ligne courbe (lemme 1) où un "petit" arc de courbe au voisinage d'un de ses points est assimilé à sa tangente en ce point.

Cas d'un volume :

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un domaine (D) fermé. Comme dans le cas de la définition de l'intégrale de Riemann, on peut recouvrir ce domaine en utilisant une subdivision de chacun des intervalles [a,b] et [c,d] :

On obtient ainsi un pavage de (D) dont un représentant σij est d'aire :

ΔxiΔyj = (xi+1 - xi)(yj+1 - yj).

Passons maintenant dans l'espace où l'on considère un volume cylindrique (prismatique en particulier) V de base (D) dans le plan (xOy) et limité par la surface (S) d'équation z = f(x,y).

Choisissons dans chaque élément σij du pavage un point m(αij,0) correspondant à la cote z au point M(αij,zij) de la surface : zij = f(αij). Élevons jusque sur (S) les génératrices du volume cylindrique de base σij.

Le volume V cherché apparaît comme la limite, lorsque le nombre de faces augmente infiniment, de la somme Σ des volumes prismatiques :

zijσij  = zijΔxiΔyj = f(αij)ΔxiΔyj

Notons px et py les plus grands pas des subdivisions des intervalles [a,b] et [c,d] :

px = Max Δxi et py = Max Δyj

Si, lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre points des subdivisions, de sorte que px et py tendent vers 0, la somme Σ admet une limite finie pour toutes subdivisions et tout du choix des points m(αij,0), on dira que f est intégrable sur D.

On démontre alors que cette limite I est indépendante tant des subdivisions choisies que des points m. On écrit :

Cette approche permet de définir l'aire d'un domaine plan : si f(x,y) = 1 pour tout x et y de D et nulle ailleurs (fonction caractéristique de D), I sera, par définition l'aire du domaine D.

Cas d'une aire :

On considère une surface finie (S), fermée, d'équation z = f(x,y). Chaque aire ΔA d'une facette se projette en une aire Δσ dans le plan (xOy) :

Soit α l'angle que fait la facette avec (xOy) : on a Δσ = ΔAcosα. L'aire cherchée A apparaît ici comme la somme Σ des aires ΔA = Δσ/cosα lorsque le nombre de facettes tend vers l'infini comme dit ci-dessus.

Dans ces conditions, chaque angle α tend vers θ, angle du plan tangent en M à (S) avec (xOy) qui est aussi celui  de la normale en M avec l'axe (Oz). Δσ quant à elle tend vers l'élément de surface infinitésimal dσ dans le plan (xOy) :

dA =  dσ/cosθ

L'expression de dσ dépendra du système de coordonnées utilisé. Cartésiennes : dxdy ou polaires : rdrdθ. Ce dernier cas est illustré ci-dessous (avec un dθ fortement agrandi pour une meilleure lisibilité...) : dσ est assimilé à l'aire d'un rectangle de côtés dr et rdθ.

On a donc :

Pour le calcul pratique, il nous faut maintenant évaluer cosθ. Or selon les résultats sur l'équation de la normale et sur les cosinus directeurs d'une droite de l'espace, nous devons avoir lorsque z = f(x,y) des cosinus directeurs proportionnelles à f/x, f/y et -1. La somme des carrés des cosinus directeurs étant égale à 1, on en déduit, en simplifiant les notations (comme f 'x pour f/x)  :

Finalement :

Noter que z = f(x,y) implique dz = f 'xdx + f 'y.dy : utile dans le calcul pratique pour évaluer le radical : exemple.

Rappelons ici trois résultats fondamentaux :  

  1. Si f est une fonction continue de (x,y) sur un pavé U = [a,b][c,d], alors f est intégrable sur D;
     (x,y) f(x,y) (x,y) n'équivaut pas à x f(x,y) et y f(x,y) continues !   continuité

  2. Si, sur un domaine D, on a f(x,y) g(x,y) et g intégrable sur D, alors f intégrable sur D;

  3. Si, sur un domaine D, on a f(x,y) g(x,y) et g non intégrable sur D, alors f non intégrable sur D.

Calcul d'une intégrale double dans le cas général d'une fonction intégrable sur D :

Choisissons une subdivision régulière en x, αi = xi pour tout i et βj = yj pour tout j. Nous aurons :

Pour j infiniment grand, l'expression entre crochet a pour limite l'intégrale de f(xi,y) sur un intervalle [ci,di], fonction de xi. Notons F(xi) cette intégrale. Nous aurons ensuite pour i infini :

Les bornes cx et dx sont les limites fournies par y en tant que fonction de x dans le domaine D. On aurait pu faire le choix initial d'une subdivision régulière en y : on obtient alors une formule semblable, c'est à die la possibilité d'inverser l'ordre d'intégration.

Cas fondamental d'un domaine D rectangulaire a ≤ x ≤  b et c ≤  y ≤  d :

Dans ce cas, chaque intervalle [ci,di] dans le raisonnement précédent n'est autre que [c,d] pour chaque xi. Nous avons ici :

Exemple :    

L'unité étant le cm, on considère le prisme de base carrée (représenté ci-dessous à l'échelle 1/2) dont la face supérieure contient les points A(4,4,4), B(0,4,6) et C(4,0,5) :

Calculons son volume : on trouve sans difficultés qu'une équation du plan peut s'écrire z = f(x,y) = -x/2 - y/4 + 7. On a donc :

Cas d'un domaine D non borné :

Il s'agit d'une intégrale double généralisée. On peut obtenir sa valeur (si elle existe) par passage à la limite dans les bornes d'intégration.

  Fubini                      Exemple de l'intégrale de Gauss :

Cas des coordonnées semi-polaires :         

Pour le calcul d'une intégrale double, les coordonnées polaires peuvent s'avérer plus aisées à manipuler que les coordonnées cartésiennes : une surface peut être définie par une forme z = f(r,θ) où r et θ sont les coordonnées polaires de la projection de M(x,y,z) sur le plan (xOy); on parle alors de coordonnées semi-polaires. comme justifié plus haut, l'élément d'aire infinitésimal dxdy devient rdrdθ.

Exemple :  

Nous allons illustrer les deux cas fondamentaux (volume et aire) dans le cas de la fenêtre de Viviani :

Nous voulons calculer le volume de la section du quart de sphère : x2 + y2 + z2 = R2 , z 0, de centre O, de rayon R par le cylindre : x2 + y2 = Rx, x 0, z arbitraire, de rayon R/2, centré sur un rayon [OI] de support Ox :
 

Calcul du volume :      

Pour éviter toute confusion avec le rayon R, on note ρ le rayon vecteur de M dans le plan (xOy). Le long du cylindre et dans le 1er quadrant, tout point M se projette en m(ρ,θ), avec θ variant de 0 à π/2 et ρ = Rcosθ.

Sous ces conditions, tout point M(x,y,z) de la surface de Viviani vérifie :

z2 = [f(ρ,θ)]2 = R2 - (x2 + y2) = R2 - ρ2

La cote z étant positive, le calcul est alors le suivant :

Il nous faut linéariser sin3θ : calcul classique conduisant facilement à π/2 - 2/3 comme valeur de la dernière intégrale à calculer ci-dessus. Multiplions par 2 et par R3/3. Le volume total de la section traversant le quart de sphère est πR3/3 - 4R3/9 : on voit que la différence entre le volume du quart de sphère et la fenêtre de Viviani est cubable (constructible si R l'est) et égale à 4R3/9.

Calcul de l'aire :        

On se place dans le 1er quadrant. Vu que z2 = R2 - (x2 + y2), on a z.dz = -x.dx - y.dy; or dz = f 'x.dx + f 'y.dy. On en tire x = -zf 'x  et y = -zf 'y. Par suite le radicande intervenant dans notre calcul est 1 + f 'x2  + f 'y2 = 1 + x2/z2 + y2/z2 = R2/z2 et la cote z étant positive dans le 1er quadrant, le radical cherché est R/z.

Comme précédemment, on passe en coordonnées polaires dans le plan (xOy) :

on a z2 = R2 - (x2 + y2) = R2 - ρ et  σ = rdrdθ.

Multiplions par 2 pour obtenir la "fenêtre" complète dans le quart de sphère : l'aire est  πR2 - 2R2. On voit que la différence des aires entre la fenêtre de Viviani et le quart de sphère est quarrable (constructible si R l'est) et la différence est 2R2.


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