ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Promenade géodésique sur un cube...

Un vilain bug (bestiole ou punaise, en anglais. » G.M. Hopper) veut se déplacer vers le point rouge de ce cube. Il utilisera le chemin le plus court (en quelque sorte, une géodésique  : chemin le plus court sur une surface). Le côté du cube mesure 8 cm. Les cotes indiquées sont en cm et désignent les distances réelles.

Pourriez-vous construire ce chemin sur le cube sans le déplier ?

      Cela revient à construire la position du point d'interrogation. Il n'est pas interdit de déplier mentalement le cube pour analyser la situation...

Si vous séchez après avoir bien cherché :  ››››


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

Le trajet du bug sera minimal si, en dépliant, on constate que M est un point du segment [AB].

Si H et K désignent respectivement les projections orthogonales de A et B sur l'arête contenant M, les angles ^HMA et ^KMB doivent être égaux; c'est dire que les triangles HMA et KMB sont homothétiques.

Afin de connaître la position de M, on applique la propriété de Thalès dans sa configuration "croisée" :

AH/BK = MH/MK

Revenons au cube et à sa face supérieure :

Eu égard aux mesures données, H et K sont à 2 cm des extrémités de l'arête contenant M.

AH = 6 et BK = 4. M est donc le point qui partage le segment [HK] dans le rapport 6/4 = 3/2.

Sur une oblique quelconque issue de H (figure de droite) :

                 


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