ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Promenade géodésique sur un cube...

Un vilain bug (bestiole ou punaise, en anglais. G.M. Hopper) veut se déplacer vers le point rouge de ce cube. Il utilisera le chemin le plus court (en quelque sorte, une géodésique  : chemin le plus court sur une surface). Le côté du cube mesure 8 cm. Les cotes indiquées sont en cm et désignent les distances réelles.

Pourriez-vous construire ce chemin sur le cube sans le déplier ?

   Cela revient à construire la position du point d'interrogation. Il n'est pas interdit de déplier mentalement le cube pour analyser la situation...

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

Le trajet du bug sera minimal si, en dépliant, on constate que M est un point du segment [AB].

Si H et K désignent respectivement les projections orthogonales de A et B sur l'arête contenant M, les angles ^HMA et ^KMB doivent être égaux; c'est dire que les triangles HMA et KMB sont homothétiques.

Afin de connaître la position de M, on applique la propriété de Thalès dans sa configuration "croisée" :

AH/BK = MH/MK

Revenons au cube et à sa face supérieure :

Eu égard aux mesures données, H et K sont à 2 cm des extrémités de l'arête contenant M.

AH = 6 et BK = 4. M est donc le point qui partage le segment [HK] dans le rapport 6/4 = 3/2.

Sur une oblique quelconque issue de H (figure de droite) :

                 


© Serge Mehl - www.chronomath.com