ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Méthode des périmètres pour le calcul de π
 
 Tester le programme "on line"

Par cette méthode, basée sur l'approximation d'un cercle par des polygones réguliers, le célèbre physicien et mathématicien Archimède calcula une excellente approximation de π en remplaçant la mesure de la circonférence par le périmètre du polygone inscrit de 96 côtés.

L'illustration ci-dessous montre les approximations successives d'un cercle par les polygones réguliers inscrits de 5, 6, 8, 12, 20 et 30 côtés.

Considérons un cercle (C) de centre O, de rayon 1/2 (la figure ci-dessous illustre l'algorithme pour n = 3, 2n = 6). Le périmètre du cercle (circonférence) est 2π1/2 = π.

En appelant (Pn) et (P'n) les polygones réguliers de n côtés inscrit et exinscrit, de périmètres respectifs pn et p'n, lorsque n augmente indéfiniment, alors pn (resp. p'n) tend vers π par valeurs inférieures (resp. supérieures) et on a donc l'encadrement  pn < π < p'n.

Des considérations géo-trigonométriques élémentaires permettent d'établir les formules de récurrence entre les approximations d'ordre n et 2n : dans le triangle OAE rectangle en A, on a OA = an = r.cos2α et dans OCH, OH = a2n = r.cosα. Or, cos2α = 2cos2α - 1. On en déduit, sachant que r = 1/2 :

L'angle inscrit ^BCE intercepte le même arc que l'angle au centre ^BOE, donc ^BCE = α. Dans le triangle BCA rectangle en A, on déduit CA = CE/2 = cn/2 = CBcosα = c2n.cosα. Mais a2n = r.cosα = cosα/2 (vu que r = 1/2). D'où :

Concernant les périmètres, on a pn = ncn et p2n = 2nc2n. En remplaçant c2n par sa valeur exprimée ci-dessus, on obtient :

Quant au périmètre p'n des polygones exinscrits, le côté C'B' de (P'n) étant tangent au cercle en H', donc perpendiculaire à OH', une application de la propriété de Thalès dans le triangle OC'B' permet d'écrire OH'/OH = C'B'/CB = r/a2n. Mais CB = c2n et a2n =1/2, d'où :

Ces formules permettent une programmation aisée sur ordinateur et conduisent à une excellente valeur approchée de π au moyen d'un encadrement assurant des résultats plausibles. Archimède fit ses calculs à la main jusqu'à n = 96 :

Programmation JavaScript de la méthode :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
n=6 ; p=3;an=Math.sqrt(3)/4;
while (an != 0.5)  //
tant que an différent de r = 1/2                       Lancer le programme
   {
   n=2*n ; an=
Math.sqrt(1/8+an/4);  // on double n : an devient a2n
   p=p/2/an;
pex=p/2/an;  // pn devient p2n , pex = p'2n
   if(!confirm("n = "+n+"\n"+p+"< pi< "+pex)) return
   }
   // on boucle en doublant n tant que an différent de r= 1/2
alert("n = "+n+"\n"+p+"< pi< "+pex+"\n"+"fin d'algorithme")
}
</SCRIPT>

Quelques infos relatives au programme :    

Math.sqrt() retourne la racine carrée du nombre ou de la variable fournie.

   fonctions mathématiques usuelles

La variable p désigne ici pn et pex désigne p'n. Si n = 96, l'ordinateur affiche :

3,1410... < π <  3,1427...

La suite des pn (resp. p'n) est croissante et la suite des pn (resp. p'n). Ces deux suites adjacentes convergent vers π et an tend vers 1/2, rayon du cercle.

Plutôt que de s'arrêter à n = 96 avec un while (n < 96), on a placé un while (an != 0.5), c'est à dire tant que an différent de 1/2, ce qui revient à dire tant que pn reste distinct de p'n eu égard à la précision des calculs de l'ordinateur : au-delà de 16 décimales égales, ce dernier devrait "piétiner" sur les mêmes valeurs pour pn et p'n correspondant à an = 1/2, rayon du cercle.

Les erreurs d'arrondi peuvent entacher les résultats. Ces erreurs sont difficilement estimables : elles dépendent de la machine utilisée et de la stabilité du programme : capacité à itérer sans accumuler les erreurs d'arrondi.

L'encadrement est cependant respecté, pour n = 402 653 184, an= 0,5 :

π = 3,1415926535897926

π = 3,141592653589793

valeur exacte à 10-15 près, ce qui est conforme à la précision de JavaScript.




Vidéo : conférence de Jean Brette (Palais de la découverte)

Méthode des isopérimètres selon Nicolas de Cusa :


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