ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CATALAN Eugène Charles, belge, 1814-1894

Né à Bruges (de père français ?), Catalan fait ses études en France (dès 1825) où il est admis à l'École polytechnique après avoir passé brillamment l'agrégation de mathématiques (1846) et une licence de physique. Il se liera d'amitié avec Liouville, mais son intérêt trop actif pour la politique l'obligea à renoncer aux ponts et chaussées.

Après sa thèse, obtenue à Paris, Catalan enseigna les mathématiques, en particulier à l'École des Arts et Métiers de Châlons-sur-Marne. Il participa à la révolution de 1848 et quittera finalement la France (1865) pour aller enseigner l'analyse à l'université de Liège. 

 ← Eugène Catalan, avec l'aimable autorisation de l'Université de Liège. Collections artistiques.

Les travaux de Catalan portèrent sur la théorie des nombres, les surfaces algébriques et le calcul d'intégrales multiples. Il publia de nombreux résultats de ses recherches dans le journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville mais, en 1875, il fonda son propre journal : La nouvelle correspondance Mathématique.

Catalan conjectura (1844) qu'il n'existe que deux puissances entières (non triviales) d'entiers s'avérant être des entiers consécutifs, à savoir 8 = 2³ et 9 = 3². Autrement dit, en écartant le cas 3¹ - 2¹ = 1 :

L'équation d'inconnues entières x, y, n et p (équation diophantienne) non nulles xⁿ - y^p = 1
n'admet pas, pour n et p au moins égal à 2, d'autre solution que le quadruplet x =3, n = 2, y = 2, p = 3.

L'unicité de cette solution l'est moins et cette équation a beaucoup intéressé les mathématiciens du 20è siècle :

• 1921 : x³ - yⁿ = 1 est impossible pour n > 1;
• 1932 : quel que soit x entier, x⁴ - 1 ne peut être une puissance entière;
• 1940 : x² - 1 = yⁿ admet au plus une solution;
• 1976 : l'équation de Catalan n'a qu'un nombre fini de solutions, résultat établi par le mathématicien néerlandais contemporain R. Tijdeman. Plus précisément : il existe une constante k

• 2002 : la solution du problème est effectivement unique (x =3, n = 2, y = 2, p = 3), preuve apportée par le mathématicien suisse d'origine roumaine Preda Mihailescu en faisant usage de l'outil sophistiqué des corps cyclotomiques (» réf. 1).

La conjecture de Pillai :      

 i   En 1945, le mathématicien indien Subbayya S. Pillai (1901-1950), décédé prématurément dans un accident d'avion, généralisait la conjecture en énonçant :

Pour tout entier k > 0, l'équation x^p - y^q = k où x, y, p et q sont entiers au moins égaux à 2, ne possède qu'un nombre fini de solutions.

Le problème resta ouvert jusqu'en 2012, année où Jamel Ghanouchi (univ. Tunis) en apporta une preuve dans le Bulletin of Mathematical Sciences & Applications, revue mathématique internationale sise en Inde (» réf. 3).

Si p désigne un entier naturel et σ(p) la somme de ses diviseurs autres que lui-même, alors la suite des itérés de σ :

σ(p), σ(σ(p)) = σ⁽²⁾(p) , σ(σ(σ(p))) = σ ⁽³⁾(p), ..., σ⁽ⁿ⁾(p), ...

converge vers 1 ou devient finalement périodique. Cette conjecture fut étudiée par Paul Erdös en 1944 (» réf. 6).

Par exemple :

• p = 45 = 5 x 3². Nous avons ici 1, 3, 5 , 9  et 15 comme diviseurs de 45 (autres que p).
  On a σ(p) = 33, σ(33) = 15, σ(15) = 9, σ(9) = 4, σ(4) = 3, σ(3) = 1.

• Si p = 100, σ(p) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 = 117, σ(117) = 65, σ(65) = 19, σ(19) = 1.  
  » nombre de diviseurs d'un entier naturel

• p = 25 = 5², σ(p) = 1 + 5 = 6, σ(6) = 1 + 2 + 3 = 6 : périodique.

Conjecture de Poulet :  »

Étant donné un produit de n nombres, de combien de façons peut-on "parenthéser" le produit en regroupant deux termes consécutifs (sans changer l'ordre) parmi les n donnés (deux termes ou plus ne peuvent rester sans parenthèses) ?

• ab : 1 cas → on peut parenthéser ab : (ab)
• abc : 2 cas → on peut parenthéser ab ou bc : (ab)c , a(bc)
• abcd : 5 cas → on peut parenthéser ab, bc ou cd : (ab)(cd) , ((ab)c)d , (a(bc))d , a((bc)d) , a(b(cd))

Éléments de réponse...  :  »
 

Polyèdres (ou solides) de Catalan, dual d'un polyèdre :

Catalan entreprend la classification complète des solides archimédiens qu'il qualifia de semi-réguliers, dans un mémoire sur la théorie des polyèdres (1865) où il cherche à associer à chacun son dual : c'est Gergonne qui, le premier, a eu l'idée ce cette recherche.

Dual d'un polyèdre, qu'est-ce à dire ? :    

Selon Euler, il y a entre le nombre S de sommets, le nombre F de faces et le nombre A d'arêtes, la relation S - A + F = 2. À un polyèdre régulier (P) de F faces et S sommets, il s'agit alors d'associer, avec le même nombre d'arêtes, un polyèdre régulier de S faces et F sommets, appelé dual de (P). Si d'un sommet part A arêtes, chaque face du dual possédera A côtés. Ci-dessous, le dual du cube est un octaèdre, celui du tétraèdre est un tétraèdre :

Méthode :   

On obtient le dual d'un polyèdre régulier en joignant les centres de ses faces ayant une arête commune (faces adjacentes).

∗∗∗
Montrer que le dual du cube est un octaèdre régulier (ci-dessus).

• Le dual du tétraèdre est un tétraèdre;

• Le dual de l'octaèdre est un octaèdre;

• Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre.

♦ Ci-dessous (à gauche), le pentakidodécaèdre, dual de l'icosaèdre tronqué (à droite). Ces représentations sont obtenues grâce au logiciel PolyPro dont la version de base est téléchargeable gratuitement.

♦ Ci-dessous (à gauche), le dodécaèdre rhombique, dual du cuboctaèdre (à droite) :

♦ Ci-dessous, le magnifique Triacontaèdre à diamants ou Disdyaki triacontaèdre ou encore Hexaki icosaèdre (hexaki = 6 fois, icosa = 20 : 120 faces) dual du grand rhombicosidodécaèdre. Les faces sont triangulaires non isocèles (triangles scalènes) :

»  Platon , Kepler , Poinsot , Coxeter , Johnson
 

Trisectrice de Catalan :

Il s'agit de la cubique de Tschirnhausen laquelle peut servir à la trisection approchée de l'angle. Catalan fut le premier à remarquer cette propriété. C'est Gino Loria (italien, 1862-1954), professeur à Gènes et historien des mathématiques qui la baptisa alors trisectrice de Catalan.

Étude : »

 ➔  Pour en savoir plus :

1. Preuve de la conjecture de Catalan, par Henri Cohen (CNRS, univ. Bordeaux) : http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups05-01.pdf

2. Catalan's Conjecture, par Paulo Ribenboim : http://www.numdam.org/article/SPHM_1994___6_A1_0.pdf

3. Conjecture de Pillai, preuve de Jamel Ghanouchi (2012) : https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/698687/filename/ethcatalan1.pdf
   ou bien : http://www.researchgate.net/profile/Jamel_Ghanouchi/publications

4. Voir aussi : An elementary proof of Catalan-Mihailescu theorem (Jamel ghanouchi, 2013) :
   http://www.researchgate.net/publication/267449563_A_proof_of_Fermat-Catalan_conjecture

5. Les grandes conjectures arithmétiques, mémoire de Michel Waldschmidt (univ. Pierre &Marie curie, 2009) :
   http://www.math.jussieu.fr/~miw/TdN2009/TdN2009fasc1.pdf

6. A conjecture in elementary number theory étudiée par Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-01.pdf

7. Solides de Catalan :
   • Tous les solides de Catalan sont sur le site d'Eric Weisstein :  http://mathworld.wolfram.com/CatalanSolid.html
   • Et sur le site Mathcurve de Robert Ferréol : http://www.mathcurve.com/polyedres/catalan/catalan.shtml
   • Le logiciel PolyPro : polyèdres, patrons, animations.
8. Le journal de Catalan "Nouvelle correspondance mathématique", années 1875-1880, numérisé par l'université de Göttingen
   https://gdz.sub.uni-goettingen.de/suche?search[q]=Nouvelle+correspondance+mathématique&search_submit=&search[searchType]=metadata

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Villarceau   Sylvester

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