ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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CATALAN Eugène Charles, belge, 1814-1894

Né à Bruges (de père français ?), Catalan fait ses études en France (dès 1825) où il est admis à l'École polytechnique après avoir passé brillamment l'agrégation de mathématiques (1846) et une licence de physique. Il se liera d'amitié avec Liouville, mais son intérêt trop actif pour la politique l'obligea à renoncer aux ponts et chaussées.

Après sa thèse, obtenue à Paris, Catalan enseigna les mathématiques, en particulier à l'École des Arts et Métiers de Châlons-sur-Marne. Il participa à la révolution de 1848 et quittera finalement la France (1865) pour aller enseigner l'analyse à l'université de Liège. 

Eugène Catalan, avec l'aimable autorisation de l'Université de Liège. Collections artistiques.

Les travaux de Catalan portèrent sur la théorie des nombres, les surfaces algébriques et le calcul d'intégrales multiples. Il publia de nombreux résultats de ses recherches dans le journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville, mais en 1875, il fonda son propre journal : La nouvelle correspondance Mathématique.

Équation, problème ou conjecture de Catalan énoncé(e) en 1844 (résolue en juin 2002) : 

L'équation d'inconnues entières x, y, n et p (équation diophantienne) non nulles

xn - yp = 1

n'admet pas, pour n et p au moins égal à 2, d'autre solution que le quadruplet x =3, n = 2, y = 2, p = 3.

Il est en effet clair que 32 - 23 = 1. L'unicité de cette solution l'est moins et cette équation a beaucoup intéressé les mathématiciens du 20è siècle :

Étude d'un cas :  

La conjecture de Pillai :      

  En 1945, le mathématicien indien Subbayya S. Pillai (1901-1950), décédé prématurément dans un accident d'avion, généralisait la conjecture en énonçant :

Pour tout entier k > 0, l'équation xp - yq = k où x, y, p et q sont entiers au moins égaux à 2, ne possède qu'un nombre fini de solutions.

Le problème resta ouvert jusqu'en 2012, année où Jamel Ghanouchi (univ. Tunis) en apporta une preuve dans le Bulletin of Mathematical Sciences & Applications, revue mathématique internationale sise en Inde ( réf. 1).

Une autre conjecture de Catalan :

Si p désigne un entier naturel et σ(p) la somme de ses diviseurs autres que lui-même, alors la suite des itérés de σ :

σ(p), σ(σ(p)) = σ(2)(p) , σ(σ(σ(p))) = σ (3)(p), ..., σ(n)(p), ...

converge vers 1 ou devient finalement périodique. Cette conjecture fut étudiée par Paul Erdös en 1944 ( réf. 4).

Par exemple :

Conjecture de Poulet :

Nombres de Catalan :

Étant donné un produit de n nombres, de combien de façons peut-on "parenthéser" le produit en regroupant deux termes consécutifs (sans changer l'ordre) parmi les n donnés (deux termes ou plus ne peuvent rester sans parenthèses) ?

Éléments de réponse...  :  
 

Polyèdres (ou solides) de Catalan :

Catalan entreprend la classification complète des solides archimédiens qu'il qualifia de semi-réguliers, dans un mémoire sur la théorie des polyèdres (1865) où il cherche à associer à chacun son dual : c'est Gergonne qui, le premier, a eu l'idée ce cette recherche.

Selon Euler, il y a entre le nombre S de sommets, le nombre F de faces et le nombre A d'arêtes, la relation S - A + F = 2. À un polyèdre régulier (P) de F faces et S sommets, il s'agit alors d'associer, avec le même nombre d'arêtes, un polyèdre régulier de S faces et F sommets, appelé dual de (P). Si d'un sommet part A arêtes, chaque face du dual possédera A côtés.

        

 

On obtient le dual d'un polyèdre régulier en joignant les centres de ses faces ayant une
arête commune (faces adjacentes).


Montrer que le dual du cube est un octaèdre régulier (ci-dessus).

Ci-dessous (à gauche), le pentakidodécaèdre, dual de l'icosaèdre tronqué (à droite). Ces représentations sont obtenues grâce au logiciel PolyPro dont la version de base est téléchargeable gratuitement.

             

Ci-dessous (à gauche), le dodécaèdre rhombique, dual du cuboctaèdre (à droite) :

            

Ci-dessous, le magnifique Triacontaèdre à diamants ou Disdyaki triacontaèdre ou encore Hexaki icosaèdre (hexaki = 6 fois, icosa = 20 : 120 faces) dual du grand rhombicosidodécaèdre. Les faces sont triangulaires non isocèles (triangles scalènes) :

  Platon , Kepler , Poinsot , Coxeter , Johnson
 

Trisectrice de Catalan :

Il s'agit de la cubique de Tschirnhausen laquelle peut servir à la trisection approchée de l'angle. Catalan fut le premier à remarquer cette propriété. C'est Gino Loria (italien, 1862-1954), professeur à Gènes et historien des mathématiques qui la baptisa alors trisectrice de Catalan.

Étude :

  Pour en savoir plus :

  1. Conjecture de Pillai, preuve de Jamel Ghanouchi (2012) : https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/698687/filename/ethcatalan1.pdf
    ou bien : http://www.researchgate.net/profile/Jamel_Ghanouchi/publications

  2. Voir aussi : An elementary proof of Catalan-Mihailescu theorem (Jamel ghanouchi, 2013) :
    http://www.researchgate.net/publication/267449563_A_proof_of_Fermat-Catalan_conjecture

  3. Les grandes conjectures arithmétiques, mémoire de Michel Waldschmidt (univ. Pierre &Marie curie, 2009) :
    http://www.math.jussieu.fr/~miw/TdN2009/TdN2009fasc1.pdf

  4. A conjecture in elementary number theory étudiée par Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-01.pdf

  5. Solides de Catalan :


    Villarceau   Sylvester
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