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Né à Bruges (de père français ?), Catalan fait
ses études en France (dès 1825) où il
est admis à l'École
polytechnique après avoir passé
brillamment l'agrégation de mathématiques (1846) et une licence de physique. Il se liera d'amitié avec
Liouville, mais son intérêt trop actif
pour la politique l'obligea à renoncer aux ponts et chaussées.
Après sa thèse, obtenue à Paris, Catalan enseigna les mathématiques, en particulier à l'École des Arts et Métiers de Châlons-sur-Marne. Il participa à la révolution de 1848 et quittera finalement la France (1865) pour aller enseigner l'analyse à l'université de Liège.
← Eugène Catalan, avec l'aimable autorisation de l'Université de Liège. Collections artistiques.
Les travaux de Catalan portèrent sur la théorie des nombres, les surfaces algébriques et le calcul d'intégrales multiples. Il publia de nombreux résultats de ses recherches dans le journal de Mathématiques pures et appliquées de Liouville mais, en 1875, il fonda son propre journal : La nouvelle correspondance Mathématique.
Équation, problème ou conjecture de Catalan, résolue en juin 2002 : |
Catalan conjectura (1844) qu'il n'existe que deux puissances entières (non triviales) d'entiers s'avérant être des entiers consécutifs, à savoir 8 = 23 et 9 = 32. Autrement dit, en écartant le cas 31 - 21 = 1 :
L'équation d'inconnues entières x, y, n et p
(équation diophantienne) non nulles
xn - yp =
1
n'admet pas, pour n et p
au moins
égal à 2,
d'autre solution que le quadruplet x =3, n = 2, y = 2, p = 3.
L'unicité de cette solution l'est moins et cette équation a beaucoup intéressé les mathématiciens du 20è siècle :
2002 : la solution du problème est effectivement unique (x =3, n = 2, y = 2, p = 3), preuve apportée par le mathématicien suisse d'origine roumaine Preda Mihailescu en faisant usage de l'outil sophistiqué des corps cyclotomiques (» réf. 1).
La conjecture de Pillai :
i En 1945, le mathématicien indien Subbayya S. Pillai (1901-1950), décédé prématurément dans un accident d'avion, généralisait la conjecture en énonçant :
Pour tout entier k > 0, l'équation xp - yq = k où x, y, p et q sont entiers au moins égaux à 2, ne possède qu'un nombre fini de solutions.
Le problème resta ouvert jusqu'en 2012, année où Jamel Ghanouchi (univ. Tunis) en apporta une preuve dans le Bulletin of Mathematical Sciences & Applications, revue mathématique internationale sise en Inde (» réf. 3).
Une autre conjecture de Catalan : |
Si p désigne un entier naturel et σ(p) la somme de ses diviseurs autres que lui-même, alors la suite des itérés de σ :
σ(p), σ(σ(p)) = σ(2)(p) , σ(σ(σ(p))) = σ (3)(p), ..., σ(n)(p), ...
converge vers 1 ou devient finalement périodique. Cette conjecture fut étudiée par Paul Erdös en 1944 (» réf. 6).
Par exemple :
p = 45 = 5 x
32. Nous avons ici 1,
3, 5 , 9 et 15 comme diviseurs de 45 (autres que p).
On a σ(p) = 33,
σ(33) = 15,
σ(15) = 9, σ(9) = 4, σ(4) = 3, σ(3) = 1.
Si p = 100, σ(p) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25
+ 50 = 117, σ(117) = 65, σ(65) = 19, σ(19) = 1.
»
nombre de diviseurs d'un entier naturel
p = 25 = 52, σ(p) = 1 + 5 = 6, σ(6) = 1 + 2 + 3 = 6 : périodique.
Conjecture de Poulet : »
Nombres de Catalan : |
Étant donné un produit de n nombres, de combien de façons peut-on "parenthéser" le produit en regroupant deux termes consécutifs (sans changer l'ordre) parmi les n donnés (deux termes ou plus ne peuvent rester sans parenthèses) ?
Éléments de réponse... : »
Polyèdres (ou solides) de Catalan, dual d'un polyèdre : |
Catalan entreprend la classification complète des solides archimédiens qu'il qualifia de semi-réguliers, dans un mémoire sur la théorie des polyèdres (1865) où il cherche à associer à chacun son dual : c'est Gergonne qui, le premier, a eu l'idée ce cette recherche.
Dual d'un polyèdre, qu'est-ce à dire ? :
Selon Euler, il y a entre le nombre S de sommets, le nombre F de faces et le nombre A d'arêtes, la relation S - A + F = 2. À un polyèdre régulier (P) de F faces et S sommets, il s'agit alors d'associer, avec le même nombre d'arêtes, un polyèdre régulier de S faces et F sommets, appelé dual de (P). Si d'un sommet part A arêtes, chaque face du dual possédera A côtés. Ci-dessous, le dual du cube est un octaèdre, celui du tétraèdre est un tétraèdre :
Méthode :
On obtient le dual d'un polyèdre régulier en joignant les centres de ses faces ayant une arête commune (faces adjacentes).
∗∗∗
Montrer que le dual du cube est un octaèdre régulier (ci-dessus).
Le dual du tétraèdre est un tétraèdre;
Le dual de l'octaèdre est un octaèdre;
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre.
♦ Ci-dessous (à gauche), le pentakidodécaèdre, dual de l'icosaèdre tronqué (à droite). Ces représentations sont obtenues grâce au logiciel PolyPro dont la version de base est téléchargeable gratuitement.
♦ Ci-dessous (à gauche), le dodécaèdre rhombique, dual du cuboctaèdre (à droite) :
♦ Ci-dessous, le magnifique Triacontaèdre à diamants ou Disdyaki triacontaèdre ou encore Hexaki icosaèdre (hexaki = 6 fois, icosa = 20 : 120 faces) dual du grand rhombicosidodécaèdre. Les faces sont triangulaires non isocèles (triangles scalènes) :
»
Platon , Kepler ,
Poinsot , Coxeter ,
Johnson
Trisectrice de Catalan : |
Il s'agit de la cubique de Tschirnhausen laquelle peut servir à la trisection approchée de l'angle. Catalan fut le premier à remarquer cette propriété. C'est Gino Loria (italien, 1862-1954), professeur à Gènes et historien des mathématiques qui la baptisa alors trisectrice de Catalan.
Étude : »
➔ Pour en savoir plus :
Preuve de la conjecture de Catalan, par Henri Cohen (CNRS, univ. Bordeaux) : http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups05-01.pdf
Catalan's Conjecture, par Paulo Ribenboim : http://www.numdam.org/article/SPHM_1994___6_A1_0.pdf
Conjecture de Pillai, preuve de Jamel Ghanouchi (2012) :
https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/698687/filename/ethcatalan1.pdf
ou bien :
http://www.researchgate.net/profile/Jamel_Ghanouchi/publications
Voir aussi : An elementary proof of Catalan-Mihailescu
theorem (Jamel ghanouchi, 2013) :
http://www.researchgate.net/publication/267449563_A_proof_of_Fermat-Catalan_conjecture
Les grandes conjectures
arithmétiques, mémoire de Michel Waldschmidt (univ. Pierre &Marie curie, 2009) :
http://www.math.jussieu.fr/~miw/TdN2009/TdN2009fasc1.pdf
A conjecture in elementary number theory étudiée par Paul Erdös : http://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-01.pdf