ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Hauteurs d'un triangle selon Archimède      TD niveau 3è      niveau 5ème/4ème

Selon Brigitte Sénéchal, dans son livre Géométrie classique et mathématiques modernes, le concours des hauteurs d'un triangle aurait été prouvé par Archimède selon la démarche ci-dessous. Les outils sont les propriétés des angles inscrits et l'inscriptibilité d'un triangle rectangle dans un demi-cercle  dont le diamètre est son hypoténuse.

L'objectif est de prouver que (CH) est perpendiculaire à (AB)

étape 1. Observe le quadrilatère A'HB'C; sa diagonale [HC] est  l'.......................... commune des deux triangles ...................... HA'C et ............ Par conséquent A' et B' appartiennent au ...................... de ..................... [HC].

étape 2. Observe maintenant le quadrilatère ABA'B'; pour les mêmes raisons que précédemment, on peut affirmer que A' et B' appartiennent au ............... de ........................ [AB].

étape 3. Étudions les triangles ABA' et C'BC; ils ont en commun l'angle ^B et dans ABA' l'angle ^A' est droit. Si nous montrons que les angles ^BAA' et ^BCC' ont même mesure alors ^BC'C sera droit. Ok ?.. alors, on continue :

étape 4. On a tracé en rouge le cercles (c1) de diamètre [.....]  et en rose le cercle (c2) de diamètre [.....]. Dans le cercle (c1), les angles ^BAA' et ^BB'A' ont même mesure car ils ....................... le même ...... BA'.

étape 5. Dans le cercle (c2), les angles ^HB'A' et ^HCA' ont même mesure car ils ....................... le même ...... HA'.

étape 6. Mais ^BB'A' n'est autre que ^HB'A'. Donc ^BAA' = ^HCA' et ce dernier angle n'est autre que ^BCC'.

CQFD : Ce Qu'il Fallait Démontrer...

Conclusion : les ................ du triangle ABC sont concourantes en H.

Cas d'un angle obtus, supposons ici que ce soit ^A

La même démarche s'applique ici. No more comment...


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