ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges


ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Quadrature du cercle : à la recherche de π        TP niveau 5è/4è
      
 C'est quoi une quadrature ? |  Autres calculs de π  | TP niveau CM2/6è   

La construction à la règle et au compas d'un carré de même aire qu'un cercle de rayon donné, est impossible (Xantzel, 1837). La recherche de cette construction, qui dura plus de 15 siècles, est appelé la quadrature du cercle.

La locution c'est la quadrature du cercle fait aujourd'hui partie des expressions utilisées couramment pour signifier un difficile problème sans solution.

Mais on peut s'amuser à quelques approximations... On peut utiliser une ficelle et une boîte de conserve cylindrique mais les résultats sont médiocres : étirement de la ficelle, mesure trop approximative.

Prenons un bon vieux cahier d'écolier à grands carreaux.

 Pour les 4è : ce rectangle n'a pas vraiment ses sommets sur le cercle : dans un repère orthonormé, dont l'origine O serait le centre du cercle et d'unité 1 carreau, le sommet nord-est du rectangle, appelons-le M, est sensiblement sur le cercle car, selon le théorème de Pythagore : 42 + 82 = 80 (pas loin de 81...) et par suite OM = √80 8,94..., soit 9 carreaux compte tenu de l'épaisseur du trait de crayon ou du stylo, sans oublier le facteur d'imprécision du quadrillage du cahier.

π n/81

En déduire une approximation du nombre π.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications & Réponse :

Dans notre quart de disque, nous avons tout d'abors 4 + 15 + 3 + 32 carreaux entiers; soit 54 carreaux

Dans nos calculs, nous remplaçons les arcs de cercle par les cordes. Chaque carreau représentant 1 unité, l'interlignage découpe cette unité en quarts :

On découpe l'unité en tiers verticaux; on tient donc des douzièmes. Le jaune occupe :

sous le vert : (1/12)÷2 + 1/12 + (1/12)÷2 = 1/6 et, sous le gris : 1/2 + 1/4 = 3/4

On peut donc estimer la zone jaune à : (1/6 + 3/4) x 2 = 11/6

En toute rigueur, la symétrie permet de cocher (x) les zones de même aire : ainsi, on peut compter que la zone verte occupe 2 carreaux en supprimant deux (x) à la zone bleu ciel.

On peut évaluer les deux petits rectangles bleu ciel à (1/3)÷2 = 1/6 et un petit triangle équivalent à la moitié d'un petit rectangle bleu ciel, soit : 1/24. On peut donc estimer cette dernière zone à : 5/24

Au total :

54 + (5 + 1/2)  + 11/6 + 2 + 5/24 = 61 + 61/24

Nous multiplions par 4, l'aire du disque est alors évaluée à :

n 254 + 1/6

Ce qui nous conduit à :

π (254 + 1/6) ÷ 81

Soit :

π 3,1378...

Pas mal, c'est à 0,01 près la valeur approchée 3,14 bien connue des écoliers. Mais nous devons évaluer l'erreur commise par cette approximation car c'est un peu facile de crier victoire quand on connait la valeur de ce que l'on fait semblant de chercher...

Notons que notre résultat est obtenu par défaut du fait que nous remplaçons les arcs de cercle par leur corde. L'erreur se commet principalement dans les arrangements entre zone verte et zone bleu ciel. En l'évaluant à l/3 (de carreau), soit l'équivalent de 4 petits rectangles bleu ciel, ce qui semble à la fois maximale et raisonnable, l'erreur commise est alors de l'ordre de :

(4/3) ÷ 81 = 0,01646... 0,02

On pourrait alors écrire, en étant honnête :

3,12 < π < 3,16


© Serge Mehl - www.chronomath.com