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Quadrature du cercle : à la recherche de π        TP niveau 5è/4è        »  C'est quoi une quadrature ? | »  Autres calculs de π  | » Calcul approché de π

La construction à la règle et au compas d'un carré de même aire qu'un cercle de rayon donné, est impossible (Wantzel, 1837). La recherche de cette construction, qui dura plus de 15 siècles, est appelé la quadrature du cercle.

La locution c'est la quadrature du cercle fait aujourd'hui partie des expressions utilisées couramment pour signifier un difficile problème sans solution.

Mais on peut s'amuser à quelques approximations... On peut utiliser une ficelle et une boîte de conserve cylindrique mais les résultats sont médiocres : étirement de la ficelle, mesure trop approximative.

• Tracer un cercle de rayon 9 carreaux, bien centré de façon qu'il n'empiète pas dans la marge du cahier.

• Tracer maintenant, le rectangle de largeur 8 carreaux, de longueur 16 carreaux.

 ➔  Pour les 4è : ce rectangle n'a pas vraiment ses sommets sur le cercle : dans un repère orthonormé, dont l'origine O serait le centre du cercle et d'unité 1 carreau, le sommet nord-est du rectangle, appelons-le M, est sensiblement sur le cercle car, selon le théorème de Pythagore : 4² + 8² = 80 (pas loin de 81...) et par suite OM = √80 ≅ 8,94..., soit 9 carreaux compte tenu de l'épaisseur du trait de crayon ou du stylo, sans oublier le facteur d'imprécision du quadrillage du cahier.

• On sait que l'aire d'un disque de rayon R est πR². Le carreau étant l'unité d'aire, l'aire de notre disque est donc 81π.

• Si nous arrivons à compter combien notre disque occupe de carreaux et de fractions de carreaux, en appelant n le nombre trouvé, nous aurons alors :

• En jouant sur les symétries, on voit que la difficulté de ce problème revient à dénombrer les fractions de carreaux situés dans la zone sud-ouest (choisie ici) en bord de disque. Voici un agrandissement de cette zone :

• Faire apparaître le quart de disque sud-ouest comme ci-dessus;

• Les zones de même aire, l'unité étant 1 carreau, sont représentées ci-dessus par une même couleur;

• L'aire hachurée mesure 54;

• Un carreau est la somme de 4 aires correspondant à l'interlignage;

• Exprimer au moyen de fractions simples (1/2; 1/3; 1/4; 1/8; 3/4) les aires des zones colorées;

En déduire une approximation du nombre π.

Dans notre quart de disque, nous avons tout d'abors 4 + 15 + 3 + 32 carreaux entiers; soit 54 carreaux

Dans nos calculs, nous remplaçons les arcs de cercle par les cordes. Chaque carreau représentant 1 unité, l'interlignage découpe cette unité en quarts :

• Observation et estimation de la zone rose sud (de gauche à droite) :

  1/4 + (1/2 + 1/8) + (3/4 + 1/8) + 1 = 11/4

  On peut donc estimer la zone rose à : (11/4) x 2 = 11/2 = 5 + 1/2

  

• Observation et estimation de la zone jaune sud (de gauche à droite) :

On découpe l'unité en tiers verticaux; on tient donc des douzièmes. Le jaune occupe :

sous le vert : (1/12)÷2 + 1/12 + (1/12)÷2 = 1/6 et, sous le gris : 1/2 + 1/4 = 3/4

On peut donc estimer la zone jaune à : (1/6 + 3/4) x 2 = 11/6

• Observation et estimation des zones vertes :

En toute rigueur, la symétrie permet de cocher (x) les zones de même aire : ainsi, on peut compter que la zone verte occupe 2 carreaux en supprimant deux (x) à la zone bleu ciel.

• Observation et estimation de la zone bleu :

On peut évaluer les deux petits rectangles bleu ciel à (1/3) ÷ 2 = 1/6 et un petit triangle équivalent à la moitié d'un petit rectangle bleu ciel, soit : 1/24. On peut donc estimer cette dernière zone à : 5/24

Au total :

Nous multiplions par 4, l'aire du disque est alors évaluée à :

Ce qui nous conduit à :

Soit :

Pas mal, c'est à 0,01 près la valeur approchée 3,14 bien connue des écoliers. Mais nous devons évaluer l'erreur commise par cette approximation car c'est un peu facile de crier victoire quand on connait la valeur de ce que l'on fait semblant de chercher...

Notons que notre résultat est obtenu par défaut du fait que nous remplaçons les arcs de cercle par leur corde. L'erreur se commet principalement dans les arrangements entre zone verte et zone bleu ciel. En l'évaluant à l/3 (de carreau), soit l'équivalent de 4 petits rectangles bleu ciel, ce qui semble à la fois maximale et raisonnable, l'erreur commise est alors de l'ordre de :

On pourrait alors écrire, en étant honnête :