La solution de ce problème demande une connaissance de niveau 2nde/1èreS basée sur l'homothétie :

Dans un triangle ABC, l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre O du cercle circonscrit sont alignés. On a de plus la relation vectorielle :

Analyse :   

Construction :   

• Tracer la demi-droite [AG);

• Placer le milieu I de [AG];

• Placer le symétrique M de I par rapport à G : c'est le pied de la médiane issue de A;

• Placer le milieu J de [HG];

• Placer le symétrique O de J par rapport à G : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC cherché.

• Tracer la perpendiculaire (p) à [AH) passant par M : c'est la droite portant les sommets B et C;

• Tracer le cercle de centre O passant par A : il coupe (p) en B et C.

Synthèse & Remarques :    

• dans cette construction, GM/GA = GO/GH; par suite (AH)//(OM). Donc (OM) ⊥ (BC) et M est donc "bien" le milieu de [BC]. G est alors le centre de gravité du triangle ABC et, par suite, eu égard à la construction utilisée, H est son orthocentre.

• la construction n'est possible que si OM < OA : le cas limite OM = OA se produit lorsque B et C se confondent en M : la propriété (HB) ⊥ (AC) devient alors (HM) ⊥ (AM). C'est dire que le problème n'est possible (et admet une unique solution) que si ^AMH est aigu.

• la droite (OH) est la droite d'Euler. Le milieu de [OH] est le centre Ω du cercle des neuf points (cercle d'Euler).

 ➔   Toute construction doit être conduite par analyse et synthèse. L'analyse est le raisonnement aboutissant à la construction cherchée. Mais le processus d'analyse procède par implication : si ABC existe (on suppose la construction aboutie) alors on a nécessairement (forcément en langage élève) ceci ou cela, donc on va faire ceci ou cela. La synthèse consiste à vérifier que ces conditions nécessaires aboutissant à la construction sont aussi suffisantes, c'est à dire que cette construction vérifie bien toutes les hypothèses de l'énoncé.