ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 !  Noter qu'il est plus convenable de parler de l'aire d'un disque plutôt que de l'aire d'un cercle : ce dernier est une courbe fermée et non une surface.

Notations :   

• A l'aire du disque de bord (C), cercle de centre O, de rayon R;

• CB = c_n désigne le côté du polygone régulier (P_n) de n côtés inscrit dans (C);

• p_n est le périmètre de (P_n);

• OH est la hauteur issue de O dans le triangle COB, distance du centre au côté c_n, appelée apothème du polygone.
  » apothème : issu du préfixe grec apo indiquant l'éloignement et du gréco-latin thema = ce qui est placé, dérivé du grec thêinai = poser, placer.

L'aire de la plaque polygonale délimitée par (P_n) est :

S_n = n×c_n.OH/2 = p_n×OH/2

En notant S'_n l'aire délimitée par le polygone régulier (P'_n) circonscrit, de côté C'B', de périmètre p'_n, on a de même pour tout n au moins égal à 3, S'_n = p'_n × OH'/2 et :

Lorsque le nombre de côtés n augmente indéfiniment, (P_n) et (P'_n) se confondent en (C), leurs périmètres p_n et p'_n tendent donc vers 2πR, les apothèmes OH et OH' tendent vers R. L'encadrement précédent devient à la limite :

» on remarquera, sans trop s'en étonner, que la fonction dérivée de l'aire du cercle par rapport à R est sa circonférence 2πR