ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aire du cercle selon Archimède                 Périmètre du cercle

Noter qu'il est plus convenable de parler de l'aire du disque : le cercle est une courbe et non une surface.

Notations :   

L'aire de la plaque polygonale délimitée par (Pn) est :

Sn = ncn.OH/2 = pnOH/2

En notant S'n l'aire délimitée par le polygone régulier (P'n) circonscrit, de côté C'B', de périmètre p'n, on a de même pour tout n au moins égal à 3, S'n = p'nOH'/2 et :

Sn < A < S'n.

Lorsque le nombre de côtés n augmente indéfiniment, (Pn) et (P'n) se confondent en (C), leurs périmètres pn et p'n tendent donc vers 2πR, les apothèmes OH et OH' tendent vers R. L'encadrement précédent devient à la limite :

lim Sn A lim S'n.

Par suite :

πR2   A πR2 , d'où :  A = πR2

  on remarquera, sans trop s'en étonner, que la fonction dérivée de l'aire du cercle par rapport à R est sa circonférence 2πR

          La méthode d'exhaustion :

  TP/TD   π : par quadrature approchée du cercle (5è/4è)  ,  π et haricots verts... (6è)


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