ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Trisection de l'angle selon Archimède

Une tentative de trisection de l'angle, célèbre problème initié par Hippias d'Elis, est due à Archimède. Le développement qui suit ne résout pas le problème : il remplace une demande de construction par une autre apparemment simple mais tout aussi irrésoluble :

• Considérons un angle de mesure x.
• Traçons le cercle de centre O de rayon OA = r passant par B de sorte que ^AOB soit un représentant de cet angle.
• Soit C le point de la droite (OA), non situé sur [OA), tel que la droite (CB) coupe le cercle en M avec CM = r.

La mesure y de l'angle ^BCO vérifie x = 3y

On prouvera facilement ce résultat en traçant [OM] et en étudiant les valeurs des angles des différents triangles isocèles présents.

Le problème est de  alors de construire, au sens d'Euclide, le point C (ou le point M) : si la trisection de l'angle est généralement impossible, on n'oubliera pas que trisecter un angle droit ou un angle plat est possible, et surtout très simple, par la construction d'un triangle équilatéral adéquat.

 ➔  Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :

• ThÉorie des corps, la règle et le compas par J.-C. Carrega., Éd. Hermann, Paris - 1989