ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Méthode
d'exhaustion |
La méthode d'exhaustion repose sur le principe, souvent appelé axiome d'Archimède :
En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra une grandeur moindre que la plus petite.
Par on obtiendra, on sous-entend là au bout d'un nombre fini de fois. Ce principe dichotomique évite un délicat passage à la limite, donc l'introduction du concept d'infiniment petit ou d'infiniment grand posant autant de problèmes mathématiques que philosophiques. Il faudra traverser les siècles pour aboutir à une mise en place satisfaisante du calcul "infinitésimal" : Leibniz, Pascal, d'Alembert, Euler, Bolzano, Cauchy, Weierstrass.
Tout comme pour le raisonnement par récurrence de Pascal, la méthode d'exhaustion nécessite une bonne intuition : celle du résultat ! Si R est ce dernier et A la grandeur étudiée (une aire, par exemple), on montre par deux raisonnements par l'absurde que l'on ne peut avoir ni A > R, ni A < R. Donc A = R. Cette méthode exhaustive, puisqu'elle examine tous les cas, purement logique, n'est pas vraiment évidente à manipuler et montre tout le génie des géomètres grecs (Eudoxe, Archimède, Euclide,...) qui l'utilisèrent avec des moyens de calcul et d'écriture mathématiques pourtant lourds à "manipuler".
| Un exemple simple d'application de la méthode : |
Au titre Le Cercle, nous avons obtenu le périmètre et l'aire du cercle (on devrait plutôt dire "du disque") par une méthode modernisée de celle présente dans la Mesure du Cercle d'Archimède. Afin d'illustrer la méthode d'exhaustion, voici comment Archimède calcula l'aire du cercle :
Tout cercle est équivalent
(i.e. a même aire)
à un triangle rectangle dont l'un des côtés de
l'angle droit est égal au rayon du cercle, l'autre mesurant le
périmètre du cercle :
S'il est prouvé que le périmètre du cercle est 2pr, ce que fit Archimède, l'aire du cercle est alors pr2. Soit donc r le rayon d'un cercle et L sa longueur.
a) Supposons que l'aire A du cercle soit supérieure à celle T du triangle
Notons k = A - T. Inscrivons dans le cercle le carré ABCD.
Divisons en parties égales les arcs de cercle et
répétons ces opérations de division
jusqu'à obtenir :
où P désigne l'aire des polygones réguliers inscrits obtenus par divisions successives des arcs.
L'axiome
d'Archimède
s'applique en effet ici : la dichotomie utilisée supprime
d'une division à l'autre plus de la moitié de chaque
"segment" de disque (en vert sur le dessin), la partie
rouge
montrant l'aire résultante. La symétrie marquée
en pointillés montre que le "segment" de disque rouge a une
aire inférieure à celle du triangle AEH.
On a donc A - P < A - T, soit : P > T. Pourtant, pour tout polygone régulier obtenu par division, OH est inférieur au rayon r du cercle et son périmètre p est inférieur à celui du cercle. Donc son aire P = OH x p/2 est plus petite que rL/2 = T. C'est dire : P < T. Ce qui est absurde.
l'aire A du cercle n'est donc pas supérieure à celle T du triangle
b) Supposons maintenant que l'aire A du cercle soit inférieure à celle T du triangle
Inscrivons le dans un carré ABCD dont
l'aire excède alors celle du cercle. On procède comme précédemment
: posons k = T - A et traçons [OA] qui coupe le cercle
en H. Traçons la tangente en H. Elle coupe le carré en K et L.
[KL] est le côté de l'octogone régulier circonscrit. L'aire jaune correspond à la moitié de l'excédent relatif à ce "coin" du carré. L'aire verte correspond à la moitié de l'excédent relatif à ce "coin" de l'octogone.
On a LM = LH. Le triangle AHL est rectangle isocèle et par suite AL > LM. L'aire verte délimitée par HLM est inférieure à l'aire du triangle HLM, laquelle est inférieure à l'aire du triangle AHL (puisque LM < AL). Par conséquent l'aire verte est inférieure à la moitié de l'aire jaune (décomposer : aire jaune = aire verte + aire triangle AHL).
Par application de l'axiome d'Archimède, par divisions successives, on obtiendra une suite de polygones réguliers circonscrits, d'aires notées P, et au bout d'un nombre fini d'opérations, on aura : P - A < k , soit : P < T. Mais ceci est absurde :
En effet, le périmètre p des polygones circonscrits au cercle est supérieur à celui L du cercle. Donc :
C'est dire que P > T. En conséquence : l'aire A du cercle n'est pas inférieure à celle T du triangle
Conclusion tirée de a) et b) : le cercle a la même aire que le triangle T
Pour
en savoir plus :