ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Lois de la réflexion, miroirs sphériques             Miroirs paraboliques

L'usage des miroirs concaves pour projeter la lumière remonte à l'Antiquité. Ces miroirs furent métalliques, en or, en bronze (airain), en argent. Les miroirs en verre étamés n'apparaissent qu'au 16è siècle. Pour l'éclairage, bien avant les phares des automobiles, existèrent les lanternes à pétrole à réflecteur parabolique ou les lampes de mineurs.

Les célèbres miroirs ardents d'Archimède qu'il aurait utilisés pour brûler les vaisseaux attaquant Syracuse, étaient (auraient été ?) fabriqués par juxtaposition de miroirs hexagonaux (à la façon des ballons de football d'aujourd'hui) afin d'obtenir une forme concave assimilable à un paraboloïde de révolution.

Les Athéniens utilisaient des miroirs sphériques en or afin de concentrer les rayons du soleil et rallumer le feu sacré de Hestia, déesse du Foyer (Vesta chez les Romains). En 2005, des étudiants du MIT (Massachusetts Institut of Technology) tentèrent de renouveler l'exploit. Les résultats furent mitigés : un navire en bois résista vaillamment malgré la courte distance qui le séparait des 129 miroirs installés.

Lois de la réflexion :

Les lois de la réflexion sur un miroir plan ou sphérique semblent connues depuis l'École platonicienne. Le célèbre Euclide, dans sa Catoptrique (du grec katoptron = miroir), étudie les problèmes de réflexion de la lumière et recense les résultats connus de l'époque. Certains historiens attribuent le traité à Archimède.

Quoi qu'il en soit, il semble que la théorie précise de la réflexion et de ses lois soit l'oeuvre du physicien grec Damianus qui vécut au 4è siècle. Quant aux problèmes de la réfraction, étudiée par Archimède puis Ptolémée, dans le cadre des observations astronomiques, ils feront l'objet des travaux et publications de Snell et de Descartes sans oublier l'apport remarquable de l'astronome arabe al-Haytham (Alhazen) vers l'an 1000.

 La loi fondamentale de la réflexion exprime que l'angle d'incidence i d'un rayon avec la normale à la surface réfléchissante est égal à l'angle de r réflexion (incidence : du latin incidere = tomber sur). La boule de billard est un exemple concret, autre que lumineux..., de trajectoire réfléchie. Le principe de Fermat (principe d'économie naturelle, qu'avait énoncé Héron d'Alexandrie au 1er siècle) selon lequel un rayon lumineux "cherche" toujours le chemin le plus court s'avère exact en ce qui concerne les miroirs plans et convexes et permet d'expliquer les lois de la réflexion et de la réfraction (en fait, Fermat énonça un principe de moindre temps).

On sait aujourd'hui qu'il s'agit d'un chemin extrémal, dit chemin optique (dans le cas du miroir concave, ce chemin est maximal). Le miroir sphérique concave possède des propriétés réfléchissantes approximativement convergentes. Nous en parlons plus avant.

Énoncé moderne du principe de Fermat :        Principe de Maupertuis :

Le mathématicien et astronome James Gregory propose (1663) la construction d'un télescope à miroir concave (sphérique) mais ne trouve pas d'opticien suffisamment compétent pour le fabriquer. C'est ainsi que revient à Newton la paternité du télescope en 1671.

 Notons que le miroir concave servant d'objectif et focalisant la lumière vers le miroir oculaire fut, à l'origine, sphérique et métallique (argenté). C'est Foucault (physicien français, 1819-1868) qui remplacera ce type de miroir par un miroir parabolique en verre plus efficace.

Le miroir sphérique :    

Le miroir sphérique concave (calotte sphérique) est encore utilisé dans la fabrications de télescopes mais aussi en radioastronomie comme à Nançay dans le Cher : de grande dimension (300 m sur 35 m), une surface métallique maillée de forme sphérique, véritable miroir à ondes radioélectriques, reçoit et concentre les "messages" de faible énergie que nous envoient les astres (radiosources) préalablement réfléchi par un "miroir" plan.

Montrons comment un miroir de cette sorte peut "focaliser" un rayon lumineux ou une onde radio : on admet qu'un rayon de lumière se propage linéairement et qu'il en est de même d'une onde radioélectrique pour autant que sa longueur d'onde soit faible. Étudions le phénomène en termes de rayons lumineux :

Si un rayon incident (zM) frappe le miroir (s) parallèlement à son axe (d), le plan d'incidence (p) est défini par (zM) et la normale au miroir au point M. Le rayon se réfléchit sur un arc de cercle, section du miroir par le plan (p). En l'occurrence, la normale n'est autre que la droite (MO) passant par le centre O de la sphère dont le miroir (s) est une portion.

D'après les lois de la réflexion, l'angle d'incidence ^zMO égale l'angle de réflexion ^z'MO. C'est aussi l'angle ^MOI (angles alternes-internes). Ce dernier angle est un angle au centre; il intercepte l'arc MI et par suite ^JMI, formé par la tangente en M et (MI) est un angle inscrit interceptant le même arc; sa mesure est donc i/2.

Il suit que lorsque l'angle d'incidence i est faible, ce qui se produira si le rayon du miroir est grand, alors le triangle IMO sera sensiblement rectangle et on se retrouve dans la situation précédente du paraboloïde : Mz' passe sensiblement par le milieu de OI, indépendant de M. Il y a focalisation des rayons.

 Notons R le rayon du miroir (i.e. de la sphère dont il est issu). Si l'on suppose M au point le plus élevé E du miroir, l'angle d'incidence est maximum. Exprimé en radians, ce maximum est L/R où L désigne la longueur de l'arc IE. C'est dire que la focalisation sera bonne si L est petit devant R.

Étudions le cas du radiotélescope de Nançay en calculant la distance maximale d = GF.

Avec les notations de la figure ci-dessus, le triangle JEO est rectangle (formé par la tangente et la normale), donc R = OJ.cos u. D'autre part, OG = R/(2cos u) en appliquant la formule d'Al Kashi dans le triangle isocèle EGO.

Pour le radiotélescope, R = 580 m et EH = 35 m. Par suite sin u = 35/580; on en déduit cos u puis GF = 53 cm environ, ce qui est tout à fait excellent eu égard aux dimensions de l'appareil. Le récepteur sera placé en conséquence.


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