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• L'algorithme prend fin lorsque k² > N (k = 11 dans notre cas) : les nombres non effacés sont premiers.

On obtient finalement le crible des nombres premiers inférieurs à 100, au nombre de 25 :

»  Derrick H. Lehmer

Calcul du méridien terrestre :

En astronomie, Ératosthène se distingua par son remarquable calcul de la longueur du méridien terrestre qu'il évalue à environ 40000 km en remarquant qu'au solstice d'été, le soleil est au zénith à Syène (point S, aujourd'hui Assouan), située au sud d'Alexandrie et approximativement  sur le même méridien (à 3° près, point A) où, à la même époque (même jour, solstice d'été), l'ombre d'un obélisque indique que les rayons solaires font un angle ^ABC par rapport à la verticale correspondant à un cinquantième de cercle (1/50^ème).

 ➔  Dire que le Soleil est au zénith à Syène au solstice d'été signifie que les rayons "frappent" le sol à la verticale. Autrement dit, Syène est situé sur le tropique du Cancer, ce qui est approximativement exact : 24° 05' de latitude nord, tropique du cancer : 23° 26'.

            

Les rayons du Soleil sont considérés comme parallèles : il nous apparaît comme un disque lumineux dont le diamètre apparent est celui de la Lune (à ne jamais regarder sans protection adaptée : quelques secondes suffises pour bruler la rétine). Mais il est très éloigné, à environ 150 millions de km de la Terre. Sur le schéma à droite ci-dessus, un point lumineux S envoie sur la Terre un faisceau conique et plus il s'éloigne, plus l'angle sous lequel on le voit diminue. A la limite, si S est à l'infini, cet angle est nul. C'est presque le cas pour le Soleil : l'angle vaut environ 18 secondes d'angle, soit ≅ 0,005°; ses rayons nous semblent parallèles.

L'angle ^ABC a donc même mesure que ^ATS (angles alternes-internes), à savoir 1/50è de cercle. Eratosthène évalue à 5000 stades la distance d'Alexandrie à Syène en suivant un chemin nord-sud, donc un arc de méridien local. Le stade était une meure de distance utilisée dans les compétitions sportives valant approximativement 158 m. Avec ces données, un méridien correspond à 5000 × 50 stades = 250 000 stades, soit 39500 km, ce qui indique un rayon terrestre R défini par  2πR = 39500, soit R ≈ 6287 km. Si l'on considère, de nos jours, le rayon moyen de la Terre égal à 6371 km, le résultat d'Ératosthène est donc tout à fait remarquable : moins de 2% d'erreur.

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D'une façon générale, en notations d'aujourd'hui, si A et B sont deux lieux situés sur un même méridien (même longitude), notons :

• x et y les mesures en degrés des angles entre les rayons du soleil considérés comme parallèles (» ci-dessus) et les verticales en A et B;

• z la mesure en degrés de l'angle ^ATB;

• R le rayon moyen de la Terre;

• L la circonférence moyenne d'un méridien;

• d la mesure linéaire de l'arc AB.

On a les relations :

z = | x - y | , L = 2πR = 360d/z

 » parallaxe          »  Aristarque , Snellius           ∗∗∗  Horizon
 

Calcul de l'obliquité de l'écliptique :

L'obliquité de l'écliptique dans son aspect héliocentrique depuis Kepler (la Terre tourne autour du Soleil)

Eratosthène évalua l'inclinaison du plan de l'équateur terrestre par rapport au plan de l'écliptique. Sa méthode n'est pas connue. Sans doute a-t-il mesuré à l'aide d'une armille la distance angulaire des rayons solaires lors d'un solstice d'été et un solstice d'hiver. Exprimée en fraction de circonférence, selon F. Hoefer (ref.1a, page 157) il aurait trouvé 11/83, ce qui correspond degrés et minutes d'angle à :

360° × 11/83 ÷ 2 = 23°,8554... = 23° + 0,8554... × 60  ≈ 23° 51'

Elle est évaluée de nos jours à 23 26' 12". Un très bon résultat donc, obtenu il y 2300 ans avec des moyens précaires qui honore tant ce brillant astronome et mathématicien que l'humanité tout entière. Hipparque et  Ptolémée ne feront pas mieux et adopteront cette approximation.

Histoire de l'astronomie depuis ses origines jusqu'à nos jours
de Ferdinand Hoefer, Librairie Hachette (1873), page 157, » réf.1

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 ➔  Pour en savoir plus :

1. Histoire de l'astronomie depuis ses origines jusqu'à nos jours, par Ferdinand Hoefer (1811-1878) :
   a) https://books.google.fr/books?id=X79KAAAAMAAJ (page 151 et suivantes de la pagination)
   b) https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k949337/ (moins bonne qualité que le lien précédent)

2. Le Système du Monde, tome 1, La cosmologie hellénique, Ch. III, pages 111-129, par Pierre Duhem (1861-1916) sur Gallica :
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97527176

3. Ératosthène et la mesure du rayon terrestre (Eduscol, ENS Lyon) :
   https://planet-terre.ens-lyon.fr/ressource/Terre-ronde-Eratosthene.xml

4. a) Armille (instrument de mesure astronomique) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Armille_(astronomie)
   b) Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes, par Louis Amélie Sédillot (1844) :
   https://www.persee.fr/docAsPDF/mesav_0398-3587_1844_num_1_1_1004.pdf

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Archimède  Apollonius de Perge

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