ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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AHMÈS (Ahmose, Ahmôsis), égyptien, vers -1650

Ce scribe égyptien , fils de la Lune, que l'on ne confondra pas avec Ahmès Ier, roi d’Égypte qui fonda la XVIIIè dynastie un siècle plus tard, est l'auteur du célèbre papyrus Rhind, du nom de l'écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louqsor.

 à gauche : scribe égyptien, Vè dynastie, Musée des antiquités, Le Caire.

Le précieux document aurait été découvert sur le site de la très ancienne ville de Thèbes (ville de haute Égypte au bord du Nil à ne pas confondre avec la ville grecque de Thèbes) sur lequel furent édifiées les sanctuaires de Louqsor et de Karnak. Actuellement conservé au British Museum (Londres), ce papyrus est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens.

Le papyrus Rhind et le calcul fractionnaire :

Il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de 5 m de longueur (à l'origine) et 32 cm de large.

à droite un extrait du papyrus Rhind (British Muséum, Londres)  

Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens (vers -2000) remontant aux Babyloniens. Il fut écrit en écriture hiératique. Une transcription hiéroglyphique et commentée, The Rhind Mathematical Papyrus, est due à la Mathematical Association of America (1927-1929), et éditée à Oberlin (Ohio).

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmès fait grand usage des fractions en étudiant le rapport liant l'aire d'un disque à son diamètre en cherchant à ramener l'aire de la circonférence à celle d'un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d'un carré de même aire qu'un cercle donné) : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle.

En d'autres termes,

l'aire d'un cercle de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l'aire d'un carré de 8 unités

Or, l'aire d'un cercle de rayon R, est égale à pR2 =  pd2/4. Donc  : π92/4 = 82. Notre actuel nombre π serait le carré de 16/9, soit :

π = 256/81 = 3 + 13/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 = 3,160...

 Cette approximation, certes relativement grossière est basée sur des considérations géométriques pertinentes 16 siècles avant J.-C. et mérite donc toute notre admiration. 

Plus tard, à l'époque d'Alexandre le Grand, les égyptiens établirent un encadrement assez précis :

3 + 1/8 < L/d < 3 + 1/7, soit  3,1250 <  p < 3,1428

Le cercle selon Archimède :

Algorithmes de multiplication et division, fractions unitaires  (problèmes 1 à 23) :

Ahmès, apparaît comme précurseur du système binaire  avec la décomposition de tout nombre en somme de puissances de 2 afin d'effectuer une multiplication. Soit à calculer calculer 23 x 61 :

x
1
61
x
2
122
x
4
244

/////

8
488
x
16
976
/////
32
/////

On a ici 23 = 1 + 2 + 4 + 16 (les croix correspondent aux puissances de 2 choisies pour exprimer 23).

Le produit 23 x 61 est obtenu en ajoutant les nombres de la colonne 3 :

61 + 122 + 244 + 976 = (1 + 2 + 4 + 16) x 61 = 23 x 61, soit 1403

Ce principe de décomposition selon les multiples de 2 s'accorde avec celui de la décomposition de toute fraction utilisant les formules de décomposition de 2/n.

Le processus de division est simple. Ahmès part de la définition qui est la nôtre :

X = b ÷ a  signifie  b = a x X

et utilise la décomposition en fractions unitaires, seules reconnues et opérationnelles à l'époque, au sens mathématique du terme : sur lesquelles on peut effectuer des opérations. La méthode est à rapprocher de la division euclidienne :

Soit à diviser 19 par 8; on peut écrire 19 = 16 + 2 + 1 = 2 x 8 + 2 + 1, donc :

19/8 = 2 + 2/8 + 1/8 = 2 + 1/4 + 1/8

Soit à diviser 31 par 7, on peut écrire :

31 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = (2 x 7 + 2) + (1 x 7 + 1) + 7 = 4 x 7 + 3

donc :

31/7 = 4 + 3/7

mais 3/7 se décompose en 1/4 + 1/7 + 1/28, d'où

31/7 = 4 + 1/4 + 1/7 + 1/28

Les Égyptiens utilisèrent la base 10 (système décimal additionnel). Décomposer les fractions en fractions unitaires, c'est à dire dont le numérateur est 1, permettaient de résoudre les problèmes de partage à vocation commerciale ou domestique.

Les fractions de base étaient 1/2, 1/3, 1/4, mais aussi 2/3 (qui avait son propre symbole).

Étude des fractions unitaires : Fractions unitaires et JavaScript :

Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34)

Voici le problème 24 du papyrus Rhind :

Quel est le nombre qui ajouté à son septième donne 19

Pour sa résolution, Ahmès fait usage d'une méthode d'approximations successives en utilisant implicitement de la notion de proportion et de quatrième proportionnelle :

Résolution par la méthode de fausse position :    Proportions et proportionnalité :

Les problèmes d'arpentage (problèmes 41 à 60) :

L'arpentage, mesures des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides.

Papyrus de Moscou :

 Pour en savoir plus :

Thalès
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