ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrifolium : de la 6ème à l'université...     génération géométrique    
       Quadrifolium
en tant que podaire de l'astroïde

 Dans le manuel de mathématiques, classe de 6ème, Collection Triangle, Éd. Hatier (1996), exercice 64, page 130, on demande à l'élève de tracer deux demi-droites perpendiculaires [Ox) et [Oy), puis :

Recommencer 10 fois, 20 fois, 30 fois, les question a/ et b/... et admirer :

 L'objectif est d'apprendre à tracer, avec précision, la perpendiculaire à une droite passant par un point donné (O en l'occurrence). Certains élèves, n'ayant pas écouté les consignes complémentaires du professeur, ont placé, en les nommant, 30 points A, 30 points B et 30 points H rendant la figure illisible; d'autres ont mieux réussi (ci-dessus) et ont bien fait apparaître le pétale du quart de quadrifolium attendu (car vu en classe grâce à l'ordinateur et une figure de Cabri-géomètre II).

Notre pétale représente l'ensemble des points H lorsque [AB] glisse dans le quart de repère (Ox,Oy). Posons ^OAB = t.

L'enveloppe des segments [AB] doit vous rappeler l'astroïde : on obtient effectivement un quart d'astroïde et nous allons utiliser les résultats de cette page pour gagner du temps dans les calculs...

Le quadrifolium s'interprète donc comme la podaire de l'astroïde par rapport à O. L'équation générale des segments de longueur d peut s'écrire :

x.sin t + y.cos t = d.sin t.cos t , avec o < t < π/2.

L'équation de la droite (OH) est x.cos t - y.sin t = 0.

On résout facilement ce système linéaire induit par ces deux équations :

x = d.sin2 t.cos t  ,  y = d.cos2 t.sin t

On obtient le très joli quadrifolium ci-dessous en faisant varier t de 0 à 2π au lieu de se contenter de l'intervalle [0,π/4].

Calculons maintenant une équation cartésienne de cette courbe. On a successivement :

L'équation cartésienne du quadrifolium est donc celle du sextique, courbe algébrique du 6ème degré :

(x2 + y2)3 - d2x2y2 = 0

Quadrifoliumographe sur YouTube :

On peut aussi rechercher son équation en coordonnées polaires en écrivant : 2x = d.sin 2t.sin t , 2y = d.sin 2t.cos t. Posons t = π/2 - u, on obtient 2x = d.sin 2u.cos u , 2y = d.sin 2u.sin u. C'est dire que :

r = ½d.sin2u

et on peut s'étonner de ne pas trouver un cos2u comme rencontré à cette page. Ce n'est encore là qu'un petit problème de changement (affine) de paramètre : poser u = π/4 - θ :

sin 2u = sin(π/2 - 2θ) = cos 2θ

La courbe est bien identique, à une rotation près (d'anglee π/4), à celle tracée à la page sus citée :

Le quadrifolium est une rosace de Grandi :

L'astroïde et le quadrifolium généré par Cabri-Géomètre II et son mode Trace en procédant par symétries par rapport aux axes du quart de quadrifolium étudié ci-dessus :

Et La figure obtenue par inversion des couleurs, magique !... :

Voici maintenant la figure Cabri génératrice : on utilisé les symétries afin d'obtenir le quadrifolium et l'astroïde en entier. L'ordinateur trace les 4 x 2 = 8 segments générateurs :


Déplacer le point P dans le quart de repère; vous pouvez agrandir ou diminuer la longueur de la baguette
en tirant sur le point rouge 


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