ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polyèdres (généralités)           Polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)   

On appelle polyèdre (du grec poly = plusieurs et hedra = base, facette) un solide connexe (monobloc) de l'espace limité par un nombre fini de polygones plans non coplanaires, ses faces, de sorte que tout côté d'une de ces faces soit commun à au moins une autre.

  1. Le minimum de faces d'un polyèdre est 4 : il s'agit alors d'un tétraèdre (voir ci-après)

  2. Les côté des faces constituent les arêtes du polyèdre;

  3. Les intersections des arêtes sont les sommets du polyèdre;

  4. Les sommets définissent un (unique) angle polyèdre :

Angle dièdre, trièdre, polyèdre :   

Sur la figure de gauche, les faces jaune et bleue forment un angle dièdre (deux faces) dont l'intersection est une arête du polyèdre; les faces jaune, orange et bleue forment un angle trièdre (trois faces) dont l'intersection est un sommet du polyèdre.

Dans un polyèdre régulier, les angles trièdres sont égaux (de même pour les angles dièdres). Plus généralement, pour plus de 3 faces, on parle d'angle polyèdre.

 

  Perspective et perception du cerveau : voyez-vous à ci-dessus à droite un trièdre dont les faces bleue et verte sont "au fond", la face jaune étant "à plat" ou bien un cube vu par dessous, pour lequel la face "inférieure" serait jaune...

 

  Penrose, Escher


Deux polyèdres (par exemple deux cubes de même mesure) sont réunis par une arête et une seule.
Ils ne constituent pas un nouveau polyèdre. Pourquoi ?

Parmi les polyèdres les plus connus, on distingue principalement :

Le cube :   

Du grec kubos et du latin cubus = dé à jouer, ce polyèdre, prisé dès l'enfance, possède 6 faces carrées identiques de côté c, longueur commune des arêtes et 8 sommets. La donnée de c caractérise le cube.

La pyramide :   

Du grec puramis et du latin pyramis, pour désigner une grande construction, ce polyèdre mythique fascine l'esprit humain depuis plus de 4500 ans. Inscrit tant au patrimoine de l'humanité (pyramides de Gizeh) que dans les programmes scolaires.

On construit une pyramide à partir d'un polygone (sa base) sur laquelle "elle repose" et un un point S hors du plan du polygone, son sommet, qui joue dans ce cas un rôle particulier par rapport aux autres). Ses faces latérales sont les triangles obtenus en joignant S à chaque côté du polygone. On appelle hauteur d'une pyramide la mesure de la distance entre le sommet S et sa base (B), c'est à dire SH, où S désigne la projection orthogonale de S sur le plan contenant (B). On dit aussi souvent hauteur pour parler du segment [SH].

 
Exercices sur la pyramide (3ème/2nde) ,
Somme des angles au sommet d'une pyramide

Le tétraèdre :    

Du grec tetra = quatre et hedra = face, le tétraèdre est une pyramide particulière : ses quatre faces sont triangulaires; elles peuvent toutes jouer le rôle de la base. En tant que pyramide particulière, un tétraèdre possède donc 4 hauteurs.

  figure CabriGéo. Vous pouvez déplacer/déformer en déplaçant le sommet S ou B avec la souris.

Un tétraèdre est dit trirectangle si trois de ses faces sont des triangles rectangles en un même sommet (formant un trièdre rectangle). Un tétraèdre est dit régulier si ses quatre faces sont des triangles équilatéraux (alors nécessairement isométriques).

Un tétraèdre est dit orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes (comme illustré ci-dessous). Un tétraèdre trirectangle est évidemment orthocentrique. Plus généralement, on montre qu'un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si chaque arête est orthogonale à l'arête opposée.

 
Tétraèdre orthocentrique niveau 1èreS/TerS
Centre de gravité du tétraèdre régulier (niveau Sup) | Orthocentre du tétraèdre régulier (niveau 1èreS/TerS)


Niveau 2nde/1ère
: on considère un tétraèdre ABCD pour lequel l'arête [AB] est perpendiculaire au plan (BCD), BC = CD = DB = a et AB = 2a.
Exprimer le volume de ce tétraèdre en fonction de a ainsi que l'aire totale des faces.

Rép. : V = a3/(23) , S = a2(8 + 23 + 19)/4.

Le prisme :    

Du grec et du latin prisma = morceau coupé, scié, on nomme ainsi un polyèdre possédant deux faces parallèles identiques (ses bases), toutes les autres faces, dites latérales étant des parallélogrammes. Le cube et la tranche de camembert sont les exemples les plus connus de prisme...

Les arêtes des faces latérales sont donc parallèles. Lorsque les faces latérales sont des rectangles, on parle de prisme droit. Le cube est un prisme droit particulier.

 Vous pouvez déplacer/déformer la face supérieure en "tirant", avec la souris, sur un de ses côtés ou en déplaçant un sommet. Vous pouvez aussi déplacer l'arête coloriées en rouge.

Rappelons qu'un cylindre est une surface obtenue par la réunion des droites parallèles (les génératrices) s'appuyant sur une courbe (c). Au collège, (c) se limite au cercle. Lorsque (c) est un polygone, on parle de surface prismatique. Avec ce vocabulaire, un prisme peut être défini comme une surface prismatique limitée par deux plans parallèles. Un prisme droit correspond à des génératrices perpendiculaires au plan de (c).

 
prisme et perspective cavalière  |  perspective d'un prisme (niveau 5è/3è)

Le pavé ou parallélépipède rectangle (comme la boîte d'allumettes) est un prisme droit dont les bases sont rectangles. Le cube est un cas particulier de pavé.

L'antiprisme :   

Comme dit ci-dessus, les faces latérales d'un prisme sont des parallélogrammes et il y a autant de faces que de côtés des polygones constituant les bases, lesquelles se correspondent par translation.

Dans le cas de l'antiprisme, les bases (parallèles) se correspondent par translation suivi d'une rotation (vissage) dans le plan de l'une d'elles. Si n est le nombre de côtés des bases, les faces sont triangulaires au nombre de 2n.

Lorsque les bases sont des polygones réguliers et les faces des triangles équilatéraux (comme ce tambour à bases pentagonales, ci-dessous à gauche) on parle d'antiprisme semi-régulier ou uniforme (quoique cette dernière dénomination soit plutôt réservée aux polyèdres semi-réguliers étoilés). Ils furent étudiés par Archimède :

            

Un antiprisme (très) particulier est l'octaèdre régulier (ci-dessus à droite) : 8 faces triangulaires équilatérales dont 6 judicieusement choisies peuvent être considérées comme faces latérales,  les 2 restantes (parallèles, en jaune) étant les bases.

Solides archimédiens (polyèdres semi-réguliers convexes) :


Bâtiment polyédrique au Futuroscope. Les vitres le recouvrant réfléchissent la couleur du ciel.
Photographie partielle extraite d'un dépliant publicitaire  du site

 
Pyramides , Patrons de pyramides , Somme des angles au sommet d'une pyramide

                                                
La tour de contrôle de l'aéroport d'Orly (sud de Paris) : la sphère polyèdre (radôme) renferme un puissant radar.
 


Château d'eau près de Toulouse : contrairement à l'accoutumée, la citerne n'est pas cylindrique
ou tronc-conique mais polyédrique (de forme polyèdre)
 


Le
clathre un champignon polyédrique... Ici un peu à plat car découvert trop tard après sa naissance  (30260, sud de la France) ! On pourra mieux apprécier sa géométrie étonnante, proche du dodécaèdre sur le blog de Nicolas Lesaint, viticulteur à Reignac (Gironde).

Polyèdres réguliers :    

On nomme ainsi un polyèdre inscriptible dans une sphère et dont les faces sont des polygones réguliers isométriques (identique). Il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes. Étudiés par Platon, on parle souvent de solides de Platon. Le qualificatif convexe s'oppose à étoilé (on dit aussi croisé) un polyèdre convexe est situé entièrement dans un même demi-plan constitué par l'une quelconque de ses faces. On comprendra mieux la distinction en visitant la page des polyèdres étoilés...

Étude du dénombrement des polyèdres réguliers convexes :

  Poinsot , Johnson , Catalan      Solides d'Archimède (polyèdres semi-réguliers) , Structures cristallines


Un polyèdre à faces régulières (dit de Johnson)  : la coupole pentagonale


© Serge Mehl - www.chronomath.com