ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Vecteurs du plan, exposé élémentaire

On se place ici dans le plan (géométrie plane). Quand on parlera de repère du plan sans autre précision, il s'agira d'un repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires. Le concept de vecteur remonte à des temps très anciens et fut introduit par les physiciens. On peut estimer qu'Archimède l'utilisa implicitement. Le terme de vecteur est dû à Hamilton.

Notion élémentaire de vecteur :

Un vecteur est défini par trois données :

Sur le dessin, on a schématisé un vecteur AB : sa direction est celle de la droite (d), son sens de parcours est de A vers B, sa longueur est la distance AB. La flèche sur le dessin indique le sens. Le point A est l'origine du vecteur, B est son extrémité.

Si la flèche était dans l'autre sens, nous parlerions du vecteur BA : qui va de B vers A.

  On a aussi représenté un vecteur v sans préciser le nom de son origine, ni celui de son extrémité.

Notation, opposé d'un vecteur, vecteur nul :

On connaît la notation [AB] d'un segment. Pour bien distinguer un vecteur d'un segment, on utilise très souvent, en écriture manuscrite, la notation .

Le vecteur a la même direction que mais est de sens contraire. On écrira d'ailleurs, comme pour des nombres relatifs : = - : c'est l'opposé de . On peut concevoir un vecteur dont l'origine est confondue avec son extrémité : on parle alors du vecteur nul, que l'on note . Par exemple : est nul, ainsi que . On écrit = = .

Égalité & translation, représentant d'un vecteur :

La notation fléchée est claire et pratique en écriture manuscrite mais elle est très contraignante pour la mise en page : il faut passer par un éditeur de formules mathématiques à chaque occurrence d'un vecteur, raison pour laquelle ChronoMath utilise souvent la notation "à l'américaine", le gras oblique :

sera alors noté AB

Le glissement de A vers B en suivant la direction de la droite (d) s'appelle une translation de vecteur AB et généralement notée tAB.

Vecteur et flèches... :   La translation en tant qu'application affine :

La translation est une transformation du plan : application bijective du plan sur lui-même. La translation de vecteur  transforme un point M en un autre point M' tel que ABM'M soit un parallélogramme.

Attention à l'ordre des points : ci-dessus, ABMM' n'est pas un parallélogramme ! Mais MM'BA désigne le même parallélogramme : la translation qui transforme M en M' transforme A en B : tAB = tMM'

Deux vecteurs sont dits égaux s'ils définissent une même translation. AB et MM' sont égaux et on écrit AB = MM'.

AB = CD ABDC est un parallélogramme tAB(C) = D

On dira que CD est un représentant d'origine C du vecteur AB.

On dit aussi que les couples de point (A,B) et (C,D), également appelés bipoints, sont équipollents. La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

Coordonnées d'un vecteur :

Dans un repère du plan, un vecteur peut être défini par ses coordonnées (on dit aussi ses composantes) : son abscisse et son ordonnée sont mesurées par les nombres correspondant au chemin parcouru dans le sens positif ou négatif pour aller, parallèlement aux axes du repère, de son origine à son extrémité.

Par exemple, ci-dessus, le vecteur AB a pour coordonnées 3 en abscisse et 2 en ordonnée. Celles de DE sont -2 en abscisse et -3 en ordonnée. On écrira, comme pour un point : 

AB(3;2) , DE(-2;-3).

En notant A(xA;yA) et B(xB;yB), on a la formule générale pratique :

AB (xB - xA ; yB - yA)

Avec cette formule, on a BC(2;-1 ) , AD (3;0 ) , AE(1;-3) et v est un représentant de DE, on a v(-2;-3).

  deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont égaux si et seulement si x = x'  et  y = y'

Vecteurs et milieu d'un segment :

Si on place trois points A, B et C dans un repère tels que AB = BC. Que peut-on dire de B pour le segment [AC] ? Réponse B est le milieu de [AC] (ci-dessus à droite). On peut retenir :

M est le milieu de [AB]   AM = MB

Addition vectorielle, règle du parallélogramme, formule de Chasles, composée de deux translations :

L'addition de deux vecteurs du plan se fait selon la règle connue en sciences physiques pour exprimer la résultante de deux forces : si u et v sont deux vecteurs de représentants AB  et CD, on "recopie" CD en BE, représentant de v d'origine B. Le vecteur somme s est AE.

On remarque que si l'on avait recopié v en choisissant un représentant d'origine A, on aurait pu remplacer u par un représentant d'extrémité E. Cela permet de remarquer :

  1. que la somme de deux vecteurs est commutative : u + v = v + u

  2. qu'en choisissant u et v de même origine (A dans notre exemple), lorsque u et v n'ont pas la même direction, le vecteur somme s est représenté par la diagonale d'origine A du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.

Ce dernier résultat est une méthode de construction de la somme dite règle du parallélogramme. Elle coïncide avec la règle de composition des forces concourantes qu'énoncèrent des physiciens comme Stevin, Roberval ou Varignon.

Cas de deux vecteurs colinéaires : AB et CD ont même direction. On "recopie" CD en BE; la somme est AE et il y a deux cas suivant que les vecteurs ont même sens ou non. A gauche ci-dessous, les vecteurs AB et CD ont même sens. A droite, ils sont de sens contraire. Les avoir choisis "horizontaux" ne restreint pas la généralité !

          


On peut tout aussi bien recopier AB en DF (schéma de droite); la somme est alors CF.

La règle de construction de la somme de deux vecteurs permet d'énoncer la formule de Chasles (on peut considérer le schéma ci-dessous) :

Pour tout triplet (A,B,C) de points du plan : AB + BC = AC

En termes de translation et de composition des applications, l'addition vectorielle exprime que tAB  o  tBC  = tAC  et que cette composition est commutative : t o  tv  =  t o  tu=  tu + v.

Coordonnées du vecteur somme :

Le schéma ci-dessus indique que AC = AB + AC. On a : A(1,1) , B(4,3) , C(6,2). Donc : AB(3,2) , BC(2,-1) , AC(5,1). Le schéma, associé à la définition des coordonnées d'un vecteur, montre que :

Si u(x,y) et v(x',y'), alors s(x + y, x' + y')


Multiplication d'un vecteur par un nombre (multiplication scalaire) :

Il est naturel de poser v + v = 2v et si v(x;y), le vecteur w = 2v  aura pour coordonnées (2x;2y). Plus généralement, si v(x;y), le vecteur k.v où k désigne un nombre quelconque sera le vecteur w de coordonnées (kx;ky). C'est un vecteur colinéaire à v.

Espace vectoriel :


a/
 On considère les trois points A, B et C ci-dessus.

Calculer les coordonnées du point D afin que, dans cet ordre, ABCD soit un parallélogramme.

b/  Calculer les coordonnées du point D' afin que, dans cet ordre, ABD'C soit un parallélogramme.

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