ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BUDAN de BOISLAURENT Ferdinand, français, 1761-1840

Né à Limonade (sur l'île d'Haïti), fils d'un riche planteur de canne à sucre d'origine bretonne, Ferdinand François Désiré Budan de Boislaurent, membre de l'Oratoire (congrégation religieuse), se détourna de la prêtrise, poursuivit des études de médecine à Paris tout en pratiquant les mathématiques pour le plaisir. Ses travaux en mathématiques portent sur la résolution des équations numériques. Il fut Inspecteur général des universités.

Source biographique : CDSB et www.ghcaraibe.org

L'île d'Haïti des Caraïbes fut découverte en 1492 par Christophe Colomb qui la baptisa Hispaniola. La France s'y installa au 17è siècle et se vit attribuer la partie occidentale de l'île (actuel Haïti) en 1697. La ville de Santo Domingo à l'est de l'île fut prospère et donna alors son nom à l'île tout entière : Saint-Domingue, aujourd'hui capitale de la république dominicaine. Limonade, sur la côte nord de l'île, proche de Cap-Haïtien (anciennement Cap-français), fut préalablement appelé Puerto Real par les espagnols.

S'appuyant sur des travaux de Descartes et Lagrange, on doit à Budan de Boislaurent des résultats nouveaux concernant la résolution des équations polynomiales, précisant l'existence et le nombre de solutions dans un intervalle donné.

Ses algorithmes de transformation des équations et de séparation des racines se prêtent de nos jours à la résolution approchée sur ordinateur.

Théorème de Budan (1811) :

 

Entre 1806 et 1822, Budan de Boislaurent s'est intéressé au problème de la séparation des racines d'une équation polynomiale (à coefficients réels), à savoir la détermination d'intervalles disjoints contenant une racine unique permettant ensuite son calcul approché (lorsque le degré dépasse 2 ou 3). La base de ses recherches fut les premiers travaux de Descartes en la matière.

Soit P(x) = 0 une équation polynomiale de degré n à coefficients réels. On parle d'équation en x. Si on écrit l'équation sous la forme :

an(x - p)n + an-1(x - p)n-1 + ... + a1(x - p) + ao,

on parlera d'équation en (x - p). Budan donne des méthodes pratiques pour obtenir facilement ces changements d'expression (pages 11 et suivantes du mémoire ci-contre).

La méthode est simple, présentons-la comme une suite logique... : considérons l'exemple donné par Budan du polynôme : 2x3 - 3x2 + 5x - 3.

La suite des coefficients est notée : 2 - 3 + 5 - 3
Puis :                                             2 - 1 + 4 +
1
                                                                            2 + 1 +
5
                                                                            2 +
3
                                                                           
2
Le polynôme en (x - 1) est alors :
2(x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 5(x - 1) + 1 = 2x3 - 3x2 + 5x - 5. Par le même algorithme, précise ensuite Budan, on passera à l'équation en (x - 2), (x - 3), etc.

Budan conclut (page 91 du mémoire ci-dessus) :

- S'il existe une seule racine entre zéro et un nombre positif , l'équation en x doit avoir au moins une variation de plus que celle en (x - p).

- Si une équation en x a n racines comprises entre zéro et ± p, la transformée en (x ± p) doit avoir au moins n variations en moins, ou en plus que la proposée en x suivant que p est précédé du signe + ou du signe -.

Par variation, on entend le nombre de changements de signe dans l'expression de l'équation. Ce théorème, pas vraiment pratique, est à distinguer de celui de Fourier, plus efficace, malgré l'appellation souvent rencontrée de théorème de Budan-Fourier. Et le théorème de Fourier doit être attribué à Fourier ! : litige...

Le théorème de Fourier :     Théorème de Sturm : 


Kramp  Lacroix
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