ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Droites du plan, étude analytique élémentaire     tout au long de la page
   
équation y = ax + b (fonction affine) | forme ax + by + c = 0 , équation paramétrique | équation normale
            droites perpendiculaires
 | distance d'un point à une droite

Dans un repère (O,x,y) du plan, toute droite est caractérisée par une relation algébrique entre l'abscisse et l'ordonnée de ses points : c'est l'équation cartésienne de la droite, du nom du mathématicien Descartes, considéré comme le fondateur de la géométrie analytique, c'est à dire la géométrie qui utilise des calculs basés sur les coordonnées des points.

Droite parallèle à l'axe des ordonnées ou des abscisses :

                

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées, comme (d1) ou (d2) ci-dessus, possède une équation de la forme x = k où k est un nombre qui mesure l'écart algébrique de la droite par rapport à l'axe des ordonnées. On dit parfois qu'une telle droite est verticale.

Une droite parallèle à l'axe des abscisse, comme (d3) ou (d4) ci-dessus, possède une équation de la forme y = b où b est un nombre qui mesure la hauteur algébrique (positive ou négative) de la droite par rapport à l'axe des abscisses. On dit parfois qu'une telle droite est horizontale.

Droite non parallèle à l'un des axes de coordonnées, équation y = ax + b :

Les coordonnées des points M(x;y) d'une telle droite sont liées par une équation de la forme y = ax + b. En posant y = f(x), on remarque que l'on définit ainsi une fonction affine.

On parle parfois de droite oblique dans le repère considéré par opposition aux deux cas précédents. La droite oblique (d5) passe par les points de coordonnées respectives (2;0) et (0;2).

D'une façon générale, la recherche de l'équation d'une droite sous la forme y = ax + b conduit à un système de deux équations à deux inconnues a et b :

Ci-dessous, l'ordonnée à l'origine de la droite d1 est b = -1 et l'ordonnée à l'origine de la droite d2 est 0 car elle passe par l'origine :

       
 

   Coefficient directeur d'une droite non parallèle à (Oy) :

Dans les équations y = ax ou y = ax + b, le nombre a est le coefficient directeur de la droite. On l'appelle aussi la pente : plus il est élevé (positif ou négatif) plus la pente (en côte ou en descente...) de la droite dans le repère est forte.

Si une droite n'est pas parallèle à l'un des axes et passe par A(xA;yA) et B(xB;yB), on éliminant b dans l'équation y = ax + b par différence entre de yB = axB + b et yA = axA + b :

La pente d'une droite apparaît donc comme le taux d'accroissement des ordonnées par unité d'abscisse. Figure ci-dessous, la droite (AB) possède une équation du type y = ax + b. Son coefficient directeur d, par rapport à l'horizontale (d) est le quotient HB/AH de l'accroissement algébrique (il peut être négatif) en ordonnée par l'accroissement correspondant de l'abscisse :

Dans le repère (O,x,y), on peut donc écrire :

En termes de ponts et chaussées, la pente d'une route correspond à un sinus : la dénivelée entre deux points géographiques est la différence d'altitude entre ces deux points. La pente d'une route est alors la dénivelée par unité de parcours sur cette route (axe central) et non pas par rapport à l'horizontale. Il s'agit donc du quotient BH/AB = sin ^BAH et non pas de tan^BAH. Le professeur ou l'étudiant notera toutefois que si la pente est faible, les sinus et tangente de l'angle de pente seront sensiblement égaux car le développement limité de sinus et tangente ne diffèrent qu'au 3ème ordre : sin x = x -x3/6 + ... et tan x = x + x3/3.

On l'exprime généralement par un pourcentage : une pente de 10% (0,1) signifie que vous vous élèverez (en moyenne) de 10 m pour 100 m parcourus. Ce qui donne un angle moyen de pente d'environ 6°. Une pente de 35% sera plus impressionnante : angle de 20°. Une pente de 70% correspond à un angle proche de 45° (sin 45° = 2/2) : à éviter si l'on n'a pas un bon 4x4... La pente d'une toiture ou d'un écoulement (rivière, canal, égout,...) se calcule semblablement.

Tangente à une courbe, nombre dérivé :

Équation d'une droite passant par deux points A et B :

La formule calculant le coefficient directeur de la droite (AB) :

conduit à une formulation pratique de l'équation d'une droite passant par deux points : en effet, si M(x,y) est le point générique de la droite (AB), on doit aussi avoir :

D'où l'équation :

              (1)

et toutes ses variantes possibles en privilégiant B plutôt que A ou encore, plus "symétriquement" :

ou bien encore :

De l'équation (1), on déduit ce résultat pratique qu'il convient de retenir :

y - yA = a(x - xA)

c'est à dire l'équation d'une droite passant par A de coefficient directeur a.

Équation ou représentation paramétrique dans le plan ou dans l'espace, paramètres directeurs :

Si une droite passe par deux points A et B, le vecteur AB dirige la droite : c'est un vecteur directeur de (d). Choisissons A comme origine sur (d) :

pour tout point  M de (d), il existe un nombre k tel que AM = k.AB; les vecteurs AM et AB sont colinéaires : ils ont la même direction. En notant M(x,y) un point quelconque de (d), on peut écrire, avec des notations évidentes :

x - xA = k(xB - xA)
y - y
A = k(yB - yA)

Si on note α et β les coordonnées du vecteur AB, soit, avec la notation usuelle AB(α,β), alors :

x = xA + kα
y = y
A + kβ

C'est un système d'équations paramétriques ou une représentation (ou équation) paramétrique de la droite (AB). On peut utiliser tout autre vecteur colinéaire à AB, comme u,  l'équation obtenue définira la même droite. C'est la valeur du paramètre k définissant un point qui changera.

Noter que ce résultat se généralise aux droites de l'espace en rajoutant z = zA + kγ lorsque AB(α,β,γ) dirige une telle droite.          

Cosinus directeurs d'une droite de l'espace :

Sur la figure précédente, on a A(1;4) et AB(3;-2). Une équation paramétrique de M est donc :

x = 1 + 3k

y = 4  - 2k       

si k = 2, on obtient le point de coordonnées (7;0) : intersection de la droite (AB) avec l'axe des abscisses.

si nous utilisons le vecteur u(3/2;-1) colinéaire à AB, u = ½AB, nous aurions x = 1 + 3k/2 , y = 4 - k et le point ci-dessus sera obtenu lorsque y = 0, soit pour 4 - k = 0 c'est à dire k = 4.

Lorsque la droite n'est parallèle à aucun des deux axes de coordonnées, plaçons-nous dans un repère orthonormé, choisissons un vecteur unitaire u et posons θ = ^(Ox,u). Notre vecteur se projette sur (Ox) et (Oy) en cosθ et sinθ. Au moyen de la représentation paramétrique, on peut écrire, pour tout M(x,y) :


Vu que cos2
θ  + sin2θ = 1, montrer que la valeur absolue commune de ces rapports est la distance de A à M

Les nombres cosθ et sinθ sont les paramètres directeurs de la droite. Tout couple, non nul, proportionnel à  (cosθ, sinθ ) constitue également un couple de paramètres directeurs.
Remarquer que  sinθ = cos(π/2 - θ) : l'angle θ' = π/2 - θ est l'angle de la droite étudiée avec l'axe des ordonnées. cosθ et cosθ' sont les cosinus directeurs de la droite.

Représentations cartésiennes d'une droite dans le plan et l'espace :

L'élimination du paramètre dans une équation paramétrique du type x = xo + ka, y = yo + kb conduit à :

avec la convention si a = 0 (resp. b = 0), on annule le numérateur, soit x = xo (resp. y = yo). Vérifier que cette convention permet de retrouver les cas particuliers de droites parallèles aux axes.


Vérifier que cette convention s'applique à l'espace : Si V(a,b,c) dirige une droite (D), on peut écrire

On remarque que cela équivaut à considérer (D) comme l'intersection de deux plans (de 3 façons distinctes).

Cosinus directeurs d'une droite de l'espace (exercice corrigé Ter/Sup) :

ax + by + c = 0, une équation générale pour toutes les droites du plan :

En multipliant respectivement par 2 et 3 les égalités fournissant x et y ci-dessus et en additionnant membre à membre, on obtient :

2x + 3y - 14 = 0

C'est une autre forme de l'équation de la droite (AB), encore dite cartésienne : relation algébrique entre x et y. On peut l'écrire :

y = -2x/3 + 14/3

et sous cette forme, on reconnaît la pente a = -2/3 et l'ordonnée à l'origine 14/3.

Inversement toute droite possède une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0; on parle parfois d'équation implicite car ni x ni y ne sont explicités l'un en fonction de l'autre.

Un vecteur directeur d'une droite est alors donné par V(-b;a). Lorsqu'une droite (d) est donnée par une équation de la forme y = ax + b, V(1;a) dirige (d).

Droites parallèles :

Deux droites seront parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (même pente) :

(d) : y = ax + b  et (d') : y = a'x + b' sont parallèles
si et seulement si a = a'

Sous forme implicite :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) // (d') ab' - a'b = 0

C'est la condition de colinéarité des vecteurs directeurs de (d) et (d'). cette condition s'exprime par la nullité d'un déterminant :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) // (d')

Droites perpendiculaires :

En géométrie analytique, les notions de perpendicularité et d'orthogonalité n'ont de sens que dans un repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires et les unités sur les axes sont les mêmes !     voir l'exercice ci-dessous.

Sous ces conditions, deux droites, dont aucune n'est parallèle à l'un des axes de coordonnées, seront perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1 :

(d) : y = ax + b  et (d') : y = a'x + b' sont perpendiculaires
si et seulement si aa' = -1

on peut remplacer la condition aa' = -1 par a' = -1/a.

Sous forme implicite :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) (d') aa' + bb' = 0

En particulier, vu que ab + b(-a) = 0, les droites d'équations ax + by + c = 0 et bx - ay + c' = 0 sont perpendiculaires. La perpendiculaire à (D) : ax + by + c = 0, passant par un point M(xo,yo) a alors pour équation : b(x - xo) - a(y - yo) = 0.

Le qualificatif orthogonal peut être considéré comme synonyme de perpendiculaire mais il est en principe réservé aux directions, aux vecteurs en particulier, du plan ou de l'espace. Deux droites de l'espace sont dites orthogonales si leurs directions le sont. Et si ces droites sont sécantes, on dira qu'elles sont perpendiculaires.

Équation normale d'une droite :

Si une droite (D) est perpendiculaire à une direction unitaire u(cosθ,sinθ), alors l'équation de cette droite est de la forme :

xcosθ + ysinθ = p

On remarque que si H est le point d'intersection de (d) avec la droite passant par l'origine O et dirigée par u, on a : u.OH = p. Mais u et OH sont colinéaires, c'est dire, en passant aux normes, que OH, distance de O à la droite (D) est égale à | p |.

Distance d'un point à une droite :
Intersection de deux droites du plan :

Si deux droites se coupent dans un repère (droites sécantes), il est facile de calculer les coordonnées du point d'intersection : ces coordonnées doivent vérifier simultanément les équations des deux droites : on résout donc un système très simple de deux équations à deux inconnues. Dans un problème d'intersection, la solution peut être graphique; elle n'est alors généralement qu'approchée :

 Exercice corrigé :

a/ Déterminer graphiquement (en lisant les coordonnées sur le graphique ci-dessous), puis par le calcul, l'intersection M des droites d1 et d2 dont les équations respectives sont : y = -½x + 1 et y = 2x + 3.    b/ Justifier que les droites d1 et d2 sont perpendiculaires.   c/ La parallèle à d2 passant par A(5;2) coupe d1 en B. Calculer les coordonnées de B.   d/ Vérifier que AB est un vecteur directeur de d2.

Solution :

a/ On lit sur le graphique M(-0,8;1,4). Par le calcul, l'abscisse x de M vérifie les équations de chaque droite; donc 2x + 3 = -½x + 1, soit 2,5x = ­2; on retrouve x = -0,8. On en déduit y = 2x + 3 = 1,4.  b/ La pente de d1 est -½, celle de d2 est 2; le produit est - 1. Donc, dans le repère orthonormé ci-contre, les droites d1 et d2 sont perpendiculaires.  c/ la parallèle à d2 passant par A, notée d3, a même pente que d2; son équation est donc de la forme y = 2x + b; afin de calculer b, écrivons que d3 passe par A : 2 = 25 + b. Par suite : b = -8. Une équation de d3 est alors y = 2x - 8. L'abscisse de l'intersection B avec d1 sera fournie en résolvant l'équation 2x - 8 =  -½x + 1. On trouve facilement x = 3,6; d'où y = 7,2 - 8 = -0,8. conclusion : B(3,6;-0,8)   d/ Le couple de coordonnées de AB est (xB ­ xA; yB - yA), soit : AB(-1,4;-2,8). Ce vecteur est colinéaire à v(1;2) qui est un vecteur directeur de d2 puisque la pente de cette droite est 2.
 

dans cet exemple, le graphique donne les coordonnées exactes (précision du mm); une chance ! ce ne serait pas le cas avec des coordonnées à 2 décimales au moins. D'une manière générale, lire sur un graphique ne peut être qu'approximatif !

Voici, ci-dessous, une représentation de d1 et d2 dans un repère orthogonal mais non normé : les unités en abscisse et en ordonnée ne sont pas les mêmes : les droites ne sont pas perpendiculaires !

  Deux autres petits exos :

1. On se place dans un repère orthonormé. Justifier que les droites d'équations respectives y = (1 + 2)x et y = (1 - 2)x + 8 sont perpendiculaires en un point dont on précisera les coordonnées.  Rép. : elles sont perpendiculaires (le produit des pentes est -1) en A(1;1 + 2).

2. Dans un repère orthonormé, On considère les points M(2;-3) et N(5;4). donner l'équation cartésienne implicite (forme ax + by + c = 0) de la médiatrice de [AB]. Rép : 3x + 7y - 14 = 0

Distance d'un point à une droite :

La distance d'un point M(xo,yo) à une droite (D) d'équation ax + by + c = 0 est la longueur d du segment [MH] où H est le pied, sur la droite (D), de la perpendiculaire issue de M (projeté orthogonal de M). Calculons d :

Les coordonnées x et y de H vérifient ax + by + c = 0 et le vecteur u de coordonnées (a,b) est orthogonal à (D).  

  Droites perpendiculaires

Le vecteur u = ON de coordonnées (a,b) dirige (MH) et est donc colinéaire à MH. On peut alors écrire ON. MH = ONMH, mais aussi ON. MH = a(x - xo) + b(y - yo). C'est dire, en remarquant que ax + by = -c :

ONMH = a(x - xo) + b(y - yo) = -axo - yo - c

En élevant au carré, il vient (a2 + b2)d2 = (axo + byo + c)2, d'où :

Dans l'espace 3D, remarquer que l'on obtiendra, par un calcul similaire, la distance d'un point à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 au moyen de la formule :

Distance et tangentes à un cercle :                      Cosinus directeurs d'une droite de l'espace



  Pages rattachées :


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