ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Droites du plan, étude analytique élémentaire         équation paramétrique , forme ax + by + c = 0 , équation normale , droites perpendiculaires            distance d'un point à une droite

Dans un repère du plan, toute droite est caractérisée par une relation algébrique entre l'abscisse et l'ordonnée de ses points : c'est l'équation cartésienne de la droite, du nom du mathématicien Descartes, considéré comme le fondateur de la géométrie analytique, c'est à dire la géométrie qui utilise des calculs basés sur les coordonnées des points.

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées possède une équation de la forme x = k où k est un nombre qui mesure l'écart algébrique de la droite par rapport à l'axe des ordonnées. On dit parfois qu'une telle droite est verticale.

Tous les points d'une telle droite ont la même abscisse : c'est k. Sur le dessin, les droites (d1) et (d2) ont pour équations respectives x = -2 et x = 3.
 

Une droite parallèle à l'axe des abscisses possède une équation de la forme y = b où b est un nombre qui mesure la hauteur algébrique (positive ou négative) de la droite par rapport à l'axe des abscisses. On dit parfois qu'une telle droite est horizontale.

Tous les points d'une telle droite ont la même ordonnée : c'est b. Sur le dessin, les droites (d3) et (d4) ont pour équations respectives y = 2 et y = -3.

Les coordonnées des points M(x;y) d'une telle droite sont liées par une équation de la forme y = ax + b. On parle parfois de droite oblique dans le repère considéré. A droite, la droite oblique (d5) passe par les points de coordonnées respectives (2;0) et (0;2).

• Si x = 0, on a y = 2; par suite b = 2
• Si y = 0, on a x = 2; par suite 2a +2 = 0, d'où a = -1. (d5) a donc pour équation y = -x + 2

D'une façon générale, la recherche de l'équation d'une droite sous la forme y = ax + b conduit à un système de deux équations à deux inconnues a et b.

    si x est nul, alors y = b : le nombre b est l'ordonnée à l'origine de la droite.

    si une droite passe par l'origine, son ordonnée à l'origine est nulle : b = 0.
      Son équation est de la forme y = ax.

Sur le dessin, l'ordonnée à l'origine de la droite d1 est b = -1 et l'ordonnée à l'origine de la droite d2 est 0 car elle passe par l'origine

    dans les équations y = ax ou y = ax + b, le nombre a est le coefficient directeur de la droite. On l'appelle aussi la pente : plus il est élevé (positif ou négatif) plus la pente (en côte ou en descente...) de la droite dans le repère est forte.

Si une droite n'est pas parallèle à l'un des axes et passe par A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), on constate en remplaçant dans l'équation y = ax + b que l'on a :

La pente d'une droite apparaît donc comme le taux d'accroissement des ordonnées par unité d'abscisse.

Ci-contre, le coefficient directeur de la droite (AB), par rapport à l'horizontale (d) est le quotient BH/CD, ou encore BH/AH. Dans un repère du plan, on peut l'exprimer par :

      En termes de ponts et chaussées, la pente d'une route correspond à un sinus : la dénivelée entre deux points géographiques est la différence d'altitude entre ces deux points. La pente d'une route est alors la dénivelée  par unité de parcours sur cette route (axe central) et non pas par rapport à l'horizontale. Il s'agit donc du quotient BH/AB = sin ^BAH. On l'exprime généralement par un pourcentage : une pente de 10% (0,1) signifie que vous vous élèverez (en moyenne) de 10 m pour 100 m parcourus. Ce qui donne un angle moyen de pente d'environ 6°. Une pente de 35% sera plus impressionnante : angle de 20°. Une pente de 70% correspond à un angle proche de 45° (sin 45° = 2/2) : à éviter si l'on n'a pas un bon 4x4... La pente d'une rivière ou d'un canal se calcule semblablement.

Noter que si la pente est faible, les sinus et tangente de l'angle de pente seront sensiblement égaux car le développement limité de sinus et tangente ne diffèrent qu'au 3ème ordre : sin x = x -x³/6 + ... et tan x = x + x³/3.

Sur les dessins, on peut lire graphiquement la pente de d1; elle est faible : +1 pour 3, soit a = 1/3. La pente de d2 est de 2 pour 1, soit a = 2/1 = 2. Ces pentes sont positives : elles "montent" dans le repère lorsque x augmente.

Lorsque la pente est négative, la droite semble "descendre" dans le repère. Les pentes de d3 et d4 sont respectivement a = 3/4 (+3 pour 4) et a = -2/3 (-2 pour 3).

La pente d'une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) est nulle : a = 0 une telle droite entre dans le cadre des équations de la forme y = ax + b.

Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) n'a pas de pente au sens propre. Son équation de type x = k n'est pas de la forme y = ax + b : c'est un cas spécial, on peut parler de pente infinie !

Tangente à une courbe, nombre dérivé :

Si une droite passe par deux points A et B, le vecteur AB dirige la droite : c'est un vecteur directeur de (d). Choisissons A comme origine sur (d); pour tout point  M de (d), il existe un nombre k tel que AM = k.AB; les vecteurs AM et AB sont colinéaires : ils ont la même direction. En notant M(x,y) un point quelconque de (d), on peut écrire, avec des notations évidentes :

x - x_A = k(x_B - x_A)

y - y_A = k(y_B - y_A)

Si on note a et b les coordonnées du vecteur AB, soit, avec la notation usuelle AB(a,b), alors :

x = x_A + ka
                                             (r)
y = y_A + kb

C'est un système d'équations paramétriques ou une représentation (ou équation) paramétrique de la droite (AB). On peut utiliser tout autre vecteur colinéaire à AB, comme u,  l'équation obtenue définira la même droite. C'est la valeur du paramètre k définissant un point qui changera.

Noter que ce résultat se généralise aux droites de l'espace en rajoutant z = z_A + kc lorsque AB(a,b,c) dirige une telle droite.             cosinus directeurs d'une droite de l'espace

Sur le dessin ci-dessus, on a A(1;4) et AB(3;-2). Une équation paramétrique de M est donc :

x = 1 + 3k

y = 4  - 2k       

si k = 2, on obtient le point de coordonnées (7;0) : intersection de la droite (AB) avec l'axe des abscisses.

si nous utilisons le vecteur u(3/2;-1) colinéaire à AB, u = ½AB, nous aurions x = 1 + 3k/2 , y = 4 - k et le point ci-dessus sera obtenu lorsque y = 0, soit pour 4 - k = 0 c'est à dire k = 4.

Lorsque la droite n'est parallèle à aucun des deux axes de coordonnées, plaçons-nous dans un repère orthonormé et choisissons un vecteur unitaire u. Il se projette sur (Ox) et (Oy) en cos a et sin a, a désignant l'angle ^(Ox,u). Compte tenu de la représentation paramétrique (r) ci-dessus, pour tout M(x,y), on peut écrire :

Vu que cos²a  + sin²a = 1, montrer que la valeur absolue commune de ces rapports est la distance de A à M

Les nombres cosa et sina sont les paramètres directeurs de la droite. Tout couple, non nul, proportionnel à  (cosa, sina ) constitue également un couple de paramètres directeurs.
Remarquer que  sina = cos(p/2 - a) : l'angle b = p/2 - a est l'angle de la droite étudiée avec l'axe des ordonnées. cosa et cosb sont les cosinus directeurs de la droite.

L'élimination du paramètre dans une équation paramétrique du type x = x_o + ka, y = y_o + kb conduit à :

avec la convention si a = 0 (resp. b = 0), on annule le numérateur, soit x = x_o (resp. y = y_o). Vérifier que cette convention permet de retrouver les cas particuliers de droites parallèles aux axes.

Vérifier que cette convention s'applique à l'espace : Si V(a,b,c) dirige une droite (D), on peut écrire

On remarque que cela équivaut à considérer (D) comme l'intersection de deux plans (de 3 façons distinctes).

Cosinus directeurs d'une droite de l'espace (exercice corrigé Ter/Sup) :

En multipliant respectivement par 2 et 3 les égalités fournissant x et y ci-dessus et en additionnant membre à membre, on obtient :

2x + 3y - 14 = 0

C'est une autre forme de l'équation de la droite (AB), encore dite cartésienne : relation algébrique entre x et y. On peut l'écrire :

y = -2x/3 + 14/3

et sous cette forme, on reconnaît la pente a = -2/3 et l'ordonnée à l'origine 14/3.

Inversement toute droite possède une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0; on parle parfois d'équation implicite car ni x ni y ne sont explicités l'un en fonction de l'autre. Un vecteur directeur d'une droite est alors donné par V(-b;a). Lorsqu'une droite (d) est donnée par une équation de la forme y = ax + b, V(1;a) dirige (d).

Deux droites seront parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur (même pente) :

(d) : y = ax + b  et (d') : y = a'x + b' sont parallèles
si et seulement si a = a'

Sous forme implicite :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) // (d') ab' - a'b = 0

C'est la condition de colinéarité des vecteurs directeurs de (d) et (d'). cette condition s'exprime par la nullité d'un déterminant :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) // (d')

En géométrie analytique, les notions de perpendicularité et d'orthogonalité n'ont de sens que dans un repère orthonormé : les axes sont perpendiculaires et les unités sur les axes sont les mêmes !     voir l'exercice ci-dessous.

Sous ces conditions, deux droites, dont aucune n'est parallèle à l'un des axes de coordonnées, seront perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1 :

(d) : y = ax + b  et (d') : y = a'x + b' sont perpendiculaires
si et seulement si aa' = -1

on peut remplacer la condition aa' = -1 par a' = -1/a.

Sous forme implicite :

ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' : (d) (d') aa' + bb' = 0

En particulier, vu que ab + b(-a) = 0, les droites d'équations ax + by + c = 0 et bx - ay + c' = 0 sont perpendiculaires. La perpendiculaire à (D) : ax + by + c = 0, passant par un point M(x_o,y_o) a alors pour équation : b(x - x_o) - a(y - y_o) = 0.

Le qualificatif orthogonal peut être considéré comme synonyme de perpendiculaire mais il est en principe réservé aux directions, aux vecteurs en particulier, du plan ou de l'espace. Deux droites de l'espace sont dites orthogonales si leurs directions le sont. Et si ces droites sont sécantes, on dira qu'elles sont perpendiculaires.

Si une droite (D) est perpendiculaire à une direction unitaire u(cosq,sinq), alors l'équation de cette droite est de la forme :

xcosq + ysinq = p

On remarque que si H est le point d'intersection de (d) avec la droite passant par l'origine O et dirigée par u, on a : u.OH = p. Mais u et OH sont colinéaires, c'est dire, en passant aux normes, que OH, distance de O à la droite (D) est égale à | p |.

Distance d'un point à une droite :
 

Si deux droites se coupent dans un repère (droites sécantes), il est facile de calculer les coordonnées du point d'intersection : ces coordonnées doivent vérifier simultanément les équations des deux droites : on résout donc un système très simple de deux équations à deux inconnues. Dans un problème d'intersection, la solution peut être graphique; elle n'est alors généralement qu'approchée :

 Exercice corrigé :

a/  Déterminer graphiquement (en lisant les coordonnées sur le graphique), puis par le calcul, l'intersection M des droites d1 et d2 dont les équations respectives sont : y = -½x + 1 et y = 2x + 3.

b/ Justifier que les droites d1 et d2 sont perpendiculaires.

c/ La parallèle à d2 passant par A(5;2) coupe d1 en B. Calculer les coordonnées de B

d/ Vérifier que AB est un vecteur directeur de d2.

Solution :

a/ On lit sur le graphique M(-0,8;1,4). Par le calcul, l'abscisse x de M vérifie les équations de chaque droite; donc 2x + 3 = -½x + 1, soit 2,5x = ­2; on retrouve x = -0,8. L. On en déduit y = 2x + 3 = 1,4.

dans cet exemple, le graphique donne les coordonnées exactes (précision du mm); une chance ! ce ne serait pas le cas avec des coordonnées à 2 décimales au moins.

b/ La pente de d1 est -½, celle de d2 est 2; le produit est - 1. Donc, dans le repère orthonormé ci-contre, les droites d1 et d2 sont perpendiculaires.

Voici, ci-dessous, une représentation de d1 et d2 dans un repère orthogonal mais non normé : les unités en abscisse et en ordonnée ne sont pas les mêmes : les droites ne sont pas perpendiculaires !

c/ la parallèle à d2 passant par A, notée d3, a même pente que d2; son équation est donc de la forme y = 2x + b; afin de calculer b, écrivons que d3 passe par A : 2 = 2 x 5 + b. Par suite : b = -8. Une équation de d3 est alors y = 2x - 8. L'abscisse de l'intersection avec d1 sera fournie en résolvant l'équation 2x - 8 =  -½x + 1. On trouve facilement x = 3,6; d'où y = 7,2 - 8 = -0,8. Le couple de coordonnées de AB est (x_B ­ x_A; y_B - y_A), soit : AB(-1,4;-2,8)

Ce vecteur est colinéaire à v(1;2) qui est un vecteur directeur de d2 puisque la pente de cette droite est 2.

Deux petits exos :

1. On se place dans un repère orthonormé. Justifier que les droites d'équations respectives y = (1 + 2)x et y = (1 - 2)x + 8 sont perpendiculaires en un point dont on précisera les coordonnées.

Rép. : elles sont perpendiculaires (le produit des pentes est -1) en A(1;1 + 2).

2. Dans un repère orthonormé, On considère les points M(2;-3) et N(5;4). donner l'équation cartésienne implicite (forme ax + by + c = 0) de la médiatrice de [AB].

Rép : 3x + 7y - 14 = 0

La distance d'un point M à une droite (D) : ax + by + c = 0 est la longueur d du segment [MH] où H est le pied, sur la droite (D), de la perpendiculaire issue de M (projection orthogonale de M). Les coordonnées x et y de H vérifient ax + by + c = 0. Un couple de coordonnées du vecteur u orthogonal à (D) est (a,b).   droites perpendiculaires

On a OH et MH colinéaires, donc : a(x - x_o) + b(y - y_o) = ONMH. Mais ax + by = -c. Remplaçons et élevons au carré :

Remarquer que l'on obtiendra, par un calcul similaire, la distance d'un point à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 dans l'espace 3D :

Distance et tangentes à un cercle :

Pages rattachées :

• espace affine , espace vectoriel , produit scalaire , vecteurs du plan , programmation linéaire

•  enveloppes de droites , développée d'une courbe
• cosinus directeurs d'une droite de l'espace