ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Folium de Descartes

Cette courbe fut "inventée" par Descartes (1638, dans une correspondance à Mersenne) afin de mettre en évidence la faiblesse de la méthode de Fermat dans la recherche des extremums d'une courbe algébrique. C'est une cubique dont une équation cartésienne est :

x3 + y3 = 3xy      ou, plus généralement : x3 + y3 = 3kxy  (k paramètre réel)

On montre facilement, en posant t = y/x, qu'une représentation paramétrique du folium ci-dessus est (avec k = 1) :

La courbe possède une propriété remarquable : elle admet l'origine comme point régulier (t = 0) et comme point asymptote pour t infini.

Ce n'est pas un point double à proprement parler car (0,0) n'est pas obtenu pour deux valeurs distinctes de t.

Courbes algébriques, vocabulaire :

La droite d'équation x + y = -k est asymptote à la courbe (lorsque t tend vers -1 par valeurs inférieures ou supérieures).

Descartes et Roberval limitèrent leur étude à la boucle (d'où son nom de folium = feuille -au sens botanique- en latin) : logique, puisque qu'on ne considère alors que des coordonnées positives. La nature asymptotique des branches infinies ne fut établie qu'en 1692 par Huygens.

  folium simple , bifolium , trifolium , quadrifolium       

Cubique d'Agnesi :


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