ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Folium de Descartes

Cette courbe fut "inventée" par Descartes (1638, dans une correspondance à Mersenne) afin de mettre en évidence la faiblesse de la méthode de Fermat dans la recherche des extremums d'une courbe algébrique. C'est une cubique dont on donne l'équation cartésienne généralement sous la forme :

x3 + y3 = 3xy      ou, plus généralement : x3 + y3 = 3kxy  (k paramètre réel)

On étudie ci-dessous le folium lorsque k = 1 :   

En posant t = y/x, on montrera facilement, qu'une représentation paramétrique du folium ci-dessus est (avec k = 1) :

              courbe unicursale

Sous cette forme, on a un point d'indéfinition en t = -1 qui conduit à deux branches infinies. Les limites de x et y sont nulles en t = ± ∞ : la courbe possède ainsi l'origine comme point asymptote pour t infini. L'origine est un régulier (t = 0). Noter que ce n'est pas un point double à proprement parler car (0,0) n'est pas obtenu pour deux valeurs distinctes finies de t.

x'(t) = 3(1 - 2t3)/(1 + t3)2 , y'(t) = (tx') = x + tx' = 3t(2 - t3)/(1 + t3)2. On dresse le double tableau de variations sans difficultés :

Concernant les branches infinies en t = -1, on a y/x = t = -1, soit y = - x (direction asymptotique). On cherche alors la limite de y - (- x)= y + x :

La limite est -1 (lorsque t tend vers -1 par valeurs inférieures ou supérieures). La droite d'équation x + y = - 1 est asymptote à la courbe (dans le cas général de ce folium ce sera x + y = -k).

Descartes et Roberval limitèrent leur étude à la boucle (d'où son nom de folium = feuille -au sens botanique- en latin) : ce qui est logique, puisque qu'on ne considère alors que des coordonnées positives. La nature asymptotique des branches infinies ne fut établie qu'en 1692 par Huygens.

  Folium simple , Bifolium , Trifolium , Quadrifolium , Cubique d'Agnesi


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