ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 |
 Bifolium symétrique
Voir l'animation | Équation
cartésienne | Équation polaireBifolium asymétrique | Folium | Trifolium | Quadrifolium |
Dans un repère orthonormé (O,x,y), considérons le point A(a,0) et le cercle (c) de diamètre [OA]. Soit P un point de (c). Traçons la parallèle Δ à Oy passant par P. Le cercle de centre P passant par O coupe Δ en M et M'.
Quel est l'ensemble des points M et M' lorsque P décrit (c) ?
Posons ^AOP = t et M(x,y). Le triangle AOP est rectangle en P. Le triangle OPM' est isosèle. On a, en mesure algébrique, pour t décrivant [0,π/2] :
• OP = a.cos t, donc x = a.cos2t
• Dans le triangle rectangle OMH :
OM2 =
HM
x
M'M
= y
x
2OP
• Or OM2 = 2OP2 - 2OP2cos(π/2 + t), donc :
y = a.cost(1 + sin t)
Le changement de t en - t laisse x inchangé et change y en y = a.cost(1 - sin t) : on peut vérifier que c'est l'ordonnée de M'. Le changement de t en π + t échange M et M'.
Dans cette aspect géométrique, l'ensemble des points M et M' est donc obtenu entièrement pour t variant dans [0,π]. Il se compose de deux "feuilles" isométriques, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Animation : »
Étude de la courbe paramétrée :
L'équation x = a.cos2t , y = a.cost(1 + sin t) conduit à un intervalle d'étude d'amplitude 2π car si x prend toutes ses valeurs sur [0,π], il n'en est pas de même de y qui est 2π-périodique. On pourrait restreindre l'étude aux valeurs de t rendant y positif et symétriser. Mais cela ne gagnerait guère en termes de temps d'étude. Allons-y donc sur [0,2π] en supposant a = 1, ce qui ne nuit pas la généralité.
x' = -sin2t , y' = -2sin2t - sin t + 1. Le signe de x' est élémentaire. Concernant y', -2sin2t - sin t + 1 = 0 ⇔ sin t = - 1 ou sin t = 1/2 ⇔ t ∈{π/6, 5π/6 , 3π/2}
x' et y' sont continues donc gardent un signe constant dans chaque intervalle où ces dérives ne s'annulent pas. On peut calculer la valeur des dérivées en des points simples afin d'obtenir le signe de celles-ci.
x" = -2cos2t, y" = -2sin2t - cost (ces dérivées seront utiles dans l'étude des points singuliers)
! Prudence en 3π/2 : y' s'annule sans changer de signe : ce qui engendre un point de rebroussement (de 1ère espèce) car x change de sens de variation. On peut alors dresser le tableau suivant :
t = 0, point (1,1), x' = 0, y' = 1; la tangente est portée par u(0,1) : tangente "verticale".
t = π/6, point (3/4,3√3/4), x' < 0, y' = 0; la tangente est portée u(-1,0) : tangente "horizontale".
t = π/2, point (0,0), x' = 0, y' < 0; la tangente est portée u(0,-1) : tangente "verticale" (Oy').
t = 5π/6, point (3/4,-3√3/4), x' > 0, y' = 0; la tangente est portée u(1,0) : tangente "horizontale".
t = π, point (1,-1), x' = 0, y' > 0; la tangente est portée u(0,1) : tangente "verticale".
t = 3π/2, point singulier en l'origine (0,0); on a x" = -2cos2t = 2 et y" = - cost - 2sin2t = 0. La tangente est portée par v(2,0), vecteur dérivée second non nul : elle s'identifie à (Ox).
L'origine est un point double car elle est atteinte en t = π/2 et t = 3π/2 ≠ π/2 (mod. 2π). C'est aussi un point de rebroussement : la courbe traverse en effet sa tangente car x change de sens de variation et y change de signe en croissant.
Le bifolium est représenté ci-dessous dans le cas a = 1 :
Équation polaire :
Dans la recherche d'une équation en coordonnées polaires, les expressions 1 ± sint ne sont pas très pratiques. On utilise un artifice en posant t = 2u - π/2, ce qui conduit facilement à :
On peut alors écrire : x = 4a.sin2 u.cos u × cos u et y = 4a.sin2 u.cos u × sin u. Élevons au carré et utilisons cos2 u + sin2 u = 1, cela nous fournit r2 = x2 + y2 = (4a.sin2 u.cos u)2. D'où l'équation polaire de la courbe :
r = 2a.sin u.sin2u = 4a.sin2u.cosu
L'étude d'une telle courbe a théoriquement lieu sur [0,2π] ou encore [-π, +π], mais le changement de u en π + u change r en - r : on peut donc se restreindre à [0,π]. Le changement de u en π - u change également r en son opposé : on peut donc étudier la courbe sur [0,π/2] et compléter par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Équation cartésienne implicite :
De l'équation polaire, on déduit x2 + y2 = (4a.sin2u.cos u)2 = 16a2sin4u.cos2u et, selon (ep1) ci-dessus : xy2 = 64a3.sin8t.cos4t, ce qui est bigrement proche du carré de x2 + y2... En définitive, l'équation cartésienne du bifolium s'arrange bien :
(x2 + y2)2 - 4axy2 = 0
Le bifolium symétrique est donc une courbe algébrique bicirculaire.
➔ On peut vérifier que l'aire d'un folium est égale à celle du cercle de diamètre [OA], soit πa2/4.
» folium simple , folium de Descartes , trifolium , quadrifolium
Génération :
Le bifolium est généré ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java (»
extension CheerpJ
) :
Pour effacer le lieu
double-cliquer dans la figure
»
barre d'outils de CabriJava
Vous pouvez déplacer P afin
d'étudier le lieu manuellement
