ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Bifolium symétrique      Voir l'animation | Équation cartésienne | Équation polaire
     
Bifolium asymétrique | Folium | Trifolium | Quadrifolium

Dans un repère orthonormé (O,x,y), considérons le point A(a,0) et le cercle (c) de diamètre [OA]. Soit P un point de (c). Traçons la parallèle Δ à Oy passant par P. Le cercle de centre P passant par O coupe Δ en M et M'.

Quel est l'ensemble des points M et M' lorsque P décrit (c) ?

Posons ^AOP = t et M(x,y). Le triangle AOP est rectangle en P. Le triangle OPM' est isosèle. On a, en mesure algébrique, pour t décrivant [0,π/2] :

•  OP = a.cos t, donc x = a.cos2t

•  Dans le triangle rectangle OMH :
       
OM2 = HM x M'M = y x 2OP

•  Or OM2 = 2OP2 - 2OP2cos(π/2 + t), donc :

 y = a.cost(1 + sin t)

Le changement de t en - t laisse x inchangé et change y en y = a.cost(1 - sin t) : on peut vérifier que c'est l'ordonnée de M'. Le changement de t en π + t échange M et M'.

Dans cette aspect géométrique, l'ensemble des points M et M' est donc obtenu entièrement pour t variant dans [0,π]. Il se compose de deux "feuilles" isométriques, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Animation :  »

Étude de la courbe paramétrée :     

L'équation x = a.cos2t , y = a.cost(1 + sin t) conduit à un intervalle d'étude d'amplitude 2π car si x prend toutes ses valeurs sur [0,π], il n'en est pas de même de y qui est 2π-périodique. On pourrait restreindre l'étude aux valeurs de t rendant y positif et symétriser. Mais cela ne gagnerait guère en termes de temps d'étude. Allons-y donc sur [0,2π] en supposant a = 1, ce qui ne nuit pas la généralité.

 !  Prudence  en 3π/2 : y' s'annule sans changer de signe : ce qui engendre un point de rebroussement (de 1ère espèce) car x change de sens de variation. On peut alors dresser le tableau suivant :

Le bifolium est représenté ci-dessous dans le cas a = 1 :


Équation polaire :    

Dans la recherche d'une équation en coordonnées polaires, les expressions 1 ± sint ne sont pas très pratiques. On utilise un artifice en posant t = 2u - π/2, ce qui conduit facilement à :

x = 4a.sin2u.cos2 u , y = 4a.sin3u.cos u

On peut alors écrire : x = 4a.sin2 u.cos u × cos u et y = 4a.sin2 u.cos u × sin u. Élevons au carré et utilisons cos2 u + sin2 u = 1, cela nous fournit r2 = x2 + y2 = (4a.sin2 u.cos u)2. D'où l'équation polaire de la courbe :

r = 2a.sin u.sin2u = 4a.sin2u.cosu

L'étude d'une telle courbe a théoriquement lieu sur [0,2π] ou encore [-π, +π], mais le changement de u en π + u change r en - r : on peut donc se restreindre à [0,π]. Le changement de u en π - u change également r en son opposé : on peut donc étudier la courbe sur [0,π/2] et compléter par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Équation cartésienne implicite :    

De l'équation polaire, on déduit x2 + y2 = (4a.sin2u.cos u)2 = 16a2sin4u.cos2u et, selon (ep1) ci-dessus :  xy2 = 64a3.sin8t.cos4t, ce qui est bigrement proche du carré de x2 + y2... En définitive, l'équation cartésienne du bifolium s'arrange bien :

(x2 + y2)2 - 4axy2 = 0

Le bifolium symétrique est donc une courbe algébrique bicirculaire.

    On peut vérifier que l'aire d'un folium est égale à celle du cercle de diamètre [OA], soit πa2/4.

»  folium simple , folium de Descartes , trifolium , quadrifolium

Génération :   

Le bifolium est généré ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure      » barre d'outils de CabriJava
Vous pouvez déplacer P afin d'étudier le lieu manuellement

Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


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