ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quantités négatives selon l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert
 
règle des signes | nombre négatif (origine du terme)

 Texte original. Seuls sont modifiés la mise en page, quelques tournures et aspects orthographiques ou grammaticaux Les mots ou les commentaires en vert sont ajoutés pour une meilleure compréhension.

Les quantités négatives, en algèbre, sont celles qui sont affectées du signe - et qui sont regardées par plusieurs mathématiciens, comme plus petites que zéro. Cette dernière idée n'est cependant pas juste, comme on le verra dans un moment.

Les quantités négatives sont le contraire des positives : où le positif finit, le négatif commence. Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives et que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien (c'est à dire zéro), c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à -1 et que le rapport entre 1 et -1 est différent du rapport entre -1 et 1, sont dans une double erreur :

  1. parce qu'on divise tous les jours dans les opérations algébriques, 1 par -1 :

  2. l'égalité du produit de -1 par -1 et de + 1 par + 1, fait voir que 1 est à -1 comme -1 à 1.

Quand on considère l'exactitude et la simplicité des opérations algébriques sur les quantités négatives, on est bien tenté de croire que l'idée précise que l'on doit attacher aux quantités négatives doit être une idée simple et n'être point déduite d'une métaphysique alambiquée.

Pour tâcher d'en découvrir la vraie notion, on doit d'abord remarquer que les quantités qu'on appelle négatives et qu'on regarde faussement comme au-dessous du zéro, sont très souvent représentées par des quantités réelles comme dans la géométrie où les lignes négatives ne diffèrent des positives que par leur situation à l'égard de quelque ligne au point commun. De là il est assez naturel de conclure que les quantités négatives que l'on rencontre dans le calcul, sont en effet des quantités réelles; mais des quantités réelles auxquelles il faut attacher une idée autre que celle qu'on avait supposée.

Imaginons, par exemple, qu'on cherche la valeur d'un nombre x, qui ajouté à 100 fasse 50, on aura par les règles de l'algèbre :

x + 100 = 50  et  x = - 50

Ce qui fait voir que la quantité x est égale à -50 et qu'au lieu d'être ajoutée à 100, elle doit en être retranchée; de sorte qu'on aurait dû énoncer le problème ainsi :

Trouver une quantité x qui, étant retranchée de 100, il reste 50

En énonçant le problème ainsi, on aurait 100 - x = 50 et x = 50; et la forme négative de x ne subsisterait plus. Ainsi les quantités négatives indiquent réellement dans le calcul des quantités positives, mais qu'on a supposées dans une fausse position.

Le signe = que l'on trouve avant une quantité sert à redresser et à corriger une erreur que l'on a faite dans l'hypothèse, comme l'exemple ci-dessus le fait voir très clairement. Voyez ÉQUATION.

Remarquez que nous ne parlons ici que des quantités négatives isolées, comme - a, ou des quantités a - b dans lesquelles b est plus grand que a car pour celles où a - b est positif, c'est-à-dire où b est plus petit que a, le signe ne fait aucune difficulté.

Il n'y a donc point réellement et absolument de quantité négative isolée : - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée. Mais si je dis qu'un homme a donné à un autre - 3 écus, cela veut dire en langage intelligible, qu'il lui a ôté 3 écus.

D'Alembert explique ici la règle des signes :

Voilà pourquoi le produit de - a par - b, donne + ab : car a et b étant précédés du signe - par la supposition, c'est une marque que ces quantités a et b se trouvent mêlées et combinées avec d'autres à qui on les compare, puisque si elles étaient considérées comme seules et isolées, les signes - dont elles sont précédées ne présenteraient rien de net à l'esprit.

Donc ces quantités - a et - b ne se trouvent précédées du signe - que parce qu'il y a quelque erreur tacite dans l'hypothèse du problème ou de l'opération : si le problème était bien énoncé, ces quantités - a et - b, devraient se trouver chacune avec le signe + et alors leur produit serait + ab; car que signifie la multiplication de - a par - b : c'est qu'on retranche b fois la quantité négative - a : or par l'idée que nous avons donnée ci-dessus des quantités négatives, ajouter ou poser une quantité négative c'est en retrancher une positive; donc par la même raison en retrancher une négative, c'est en ajouter une positive; et l'énonciation simple et naturelle du problème doit être, non de multiplier - a par - b, mais + a par + b; ce qui donne le produit + ab.

Il n'est pas possible dans un ouvrage de la nature de celui-ci de développer davantage cette idée, mais elle est si simple que je doute qu'on puisse lui en substituer une plus nette et plus exacte et je crois pouvoir assurer que si on l'applique à tous les problèmes que l'on peut résoudre et qui renferment des quantités négatives, on ne la trouvera jamais en défaut.

Quoi qu'il en soit, les règles des opérations algébriques sur les quantités négatives sont admises par tout le monde et reçues généralement comme exactes, quelque idée qu'on attache d'ailleurs à ces quantités sur les ordonnées négatives d'une courbe et leur situation par rapport aux ordonnées positives (...).

Quand on a dit plus haut que le négatif commence où le positif finit, cela doit s'entendre avec cette restriction, que le positif ne devienne pas imaginaire. Par exemple, soit y = xx - aa, il est visible que si x > a, y sera positif, que si x = a, y sera = 0 et que si x < a, y sera négatif. Ainsi dans ce cas, le positif finit où y = 0 et le négatif commence alors; mais si on avait :

alors x > a donne y positif et x = a donne y = 0; mais x < a donne y imaginaire.

Le passage du positif au négatif, se fait toujours par zéro ou par l'infini. Soit, par exemple, y = x - a, on aura y positif tant que x > a, y négatif lorsque x < a,et y = 0 lorsque x = a; dans ce cas le passage se fait par zéro. Mais si :

on aura y positif tant que x est > a, y négatif lorsque x est < a et y = lorsque x = a; le passage se fait alors par l'infini. Ce n'est pourtant pas à dire qu'une quantité qui passe par l'infini ou par le zéro, devienne nécessairement de positive, négative; car elle peut rester positive. Par exemple, soit :

lorsque a = x, y est = 0 dans le premier cas et = dans le second; mais soit que a soit > x ou que a soit < x, y demeure toujours positive.

 Jean le Rond d'Alembert


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