ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Folium simple      (du latin folium = feuille)

Cette courbe, possédant une unique feuille, fut étudiée par Kepler peu de temps avant sa découverte des trajectoires elliptiques des planètes : il crut voir là l'orbite de Mars autour du Soleil.

En coordonnées polaires, a désignant un réel positif, l'équation du folium est donnée par :

r = a.cos3t

Son étude a théoriquement lieu sur [0,2π] ou encore [-π,+π], mais le changement de t en π + t change r en - r : on peut donc se restreindre à [0,π].

Le changement de t en π - t change également r en - r : on peut donc étudier la courbe sur [0,π/2] et compléter par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Équation cartésienne :

Comme on pourra facilement le vérifier, en remarquant que x2 + y2 = a2cos6t et x = rcost = acos4t, l'équation cartésienne du folium simple est :

(x2 + y2)2 = ax3

Il s'agit donc d'une quartique.

   Rosace : 8 pétales de type folium  - Abbaye de Silvacane, près Lambesc (Bouches du Rhône).

Une équation générale pour les folium, bifolium et trifolium :

Considérons l'équation polaire :

r = (b - asin2t)cost

Notre folium simple correspond alors au cas a = b. En variant a et b on obtient diverses formes :

Autres cas particuliers usuels :

  • b = 0 fournit un bifolium;

  • a = 2b (b non nul) ajoute deux petits pétales (trifolium)

  • a = 4b un trifolium régulier (3 pétales identiques à 120°) :

  Enfin, pour le simple plaisir des yeux (ou de compliquer l'étude...), le nombre de pétales ira en augmentant si l'argument t est remplacé par 2t, 3t, ... Voici par exemple, sur le même intervalle [0,2], une courbe à 12 pétales d'équation (a = 2 = 2b) :

r = (1 - 2sin2 2t)cos2t

Bifolium :           Trifolium régulier :          Quadrifolium :           Folium de Descartes :


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