ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Trifolium                  étude en tant que podaire de la deltoïde

Rosace à trois branches isométriques dont une équation polaire est :

C'est un cas particulier de rosace de Grandi. Il est tracé ci-dessous pour a = 1 :

Son étude a théoriquement lieu sur [0,2p] ou bien [-p,+p] mais le changement de t en - t laisse r inchangé : on peut se restreindre à [0,p].

On remarque aussi que r(2p/3 + t) = r(t) : les 3 pétales s'obtiennent donc par rotation de l'une d'elles de 120°.

Montrer que l'on peut se contenter d'une étude sur [0,p/6] et de compléter par symétrie par rapport à Ox
puis par rotations d'angle 2p/3.

Le trifolium est une courbe algébrique de degré 4 (quartique bicirculaire). On vérifiera facilement que son équation cartésienne peut se mettre sous la forme :

(x² + y²)² + ax(3y² - x² ) = 0

Son aire intérieure, pa²/4, est le quart du disque dans laquelle il s'inscrit. Vous établirez très facilement ce résultat en calculant l'intégrale :

relative à l'aire intérieure (Rép. : pa²/12) du pétale sud-ouest correspondant à t variant de π/6 à π/2, on remplaçant cos²3t au profit de ½(cos6t + 1).

Quelle est l'aire d'un domaine comme  I  ci-dessous ?  Rép. : pa²/24.