ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Trifolium régulier            Folium , Bifolium , Quadrifolium

Rosace à trois branches isométriques dont une équation polaire est :

 r = a.cos 3t              (e1)

C'est un cas particulier de rosace de Grandi. Il est aussi la podaire de la deltoïde par rapport à l'origine où l'on montre que l'équation  (e1) est équivalente à :

x = a(cos2t - cost)/2   y = a(sin2t + sint)/2

Le trifolium est tracé ci-dessous pour a = 1 :

Son étude a théoriquement lieu sur [0,2π] ou bien [-π,+π] mais le changement de t en - t laisse r inchangé : on peut se restreindre à [0,π].

On remarque aussi que r(2π/3 + t) = r(t) : les 3 pétales s'obtiennent donc par rotation de l'une d'elles de 120°.


Montrer que l'on peut se contenter d'une étude sur [0,π/6] et de compléter par symétrie par rapport à Ox puis par rotations d'angle 2π/3.

Le trifolium est une courbe algébrique de degré 4 (quartique bicirculaire).

Équation cartésienne :

Connaissant cos2t = 2cos2t - 1 et cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb, en écrivant cos3t = cos(2t + t), on obtient facilement cos3t =  4cos3t - 3cost. Or x = r.cost et y = r.sint. En supposant provisoirement que r est non nul, on a cost = x/r, ce qui conduit à :

r/a = 4x3/r3 -3x/r = 4x3/r3 -3xr2/r3, soit r4 = a[4x3 - 3x(x2 + y2)] = ax(x2 - 3y2). C'est à dire :

(x2 + y2)2 - ax(x2 - 3y2) = 0

Son aire intérieure, πa2/4, est le quart du disque dans laquelle il s'inscrit. Vous établirez très facilement ce résultat en calculant l'intégrale :

relative à l'aire intérieure (Rép. : πa2/12) du pétale sud-ouest correspondant à t variant de π/6 à π/2, en remplaçant cos23t au profit de ½(cos6t + 1).


Quelle est l'aire d'un domaine comme  I  ci-dessous ?  Rép. : πa2/24.

  Folium simple , Bifolium , Triscèle , Quadrifolium , Folium de Descartes , Trisectrice de Longchamps


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