ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Les épicycloïdes : la néphroïde, la cardioïde            
       » Cycloïde , hypocycloïde ,
épicycles

L'épicycloïde (mot à mot : en forme d'épicycle) est la courbe (lieu géométrique) décrite par un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur l'extérieur d'un cercle (C) de rayon R (pour un roulement intérieur, on parle d'hypocycloïde). Une épicycloïde peut aussi s'obtenir en tant qu'enveloppe de ses tangentes, comme la caustique. Ces courbes sont des cas particuliers de trochoïdes (du grec trechein = tourner).

    Rappelons que la cycloïde correspond à un cercle roulant sans glisser sur une droite.

 Équation générale des épicycloïdes : »             Néphroïdographe sur YouTube : »

La néphroïde (ci-dessus, mot à mot : en forme de rein) :

Il s'agit d'une épicycloïde obtenue lorsque R = 2r. Avec r = 1, son équation est :

x = 3cost - cos3t ,  y = 3sint - sin3t

pouvant également s'écrire :

x = 6cost - 4cos3t , y = 4sin3t

On peut la faire apparaître la courbe au moyen d'un logiciel de construction de figures de géométriques, en utilisant une construction semblable à celle décrite pour l'hypocycloïde :

Animation : »        Caustique par réflexion : »            Développée de la néphroïde : »

     En calculant x2 + y2, on obtient un résultat simple, à savoir = 10 - 6cos2t. Retirons 4 et élevons au cube :

(x2 + y2 - 4)3 = [6(1 - cos2t)]3 = [12sin2t]3 = 4333sin6t = 108y2

Ce qui montre que la néphroïde est une sextique : courbe algébrique de degré 6 dont une équation, dans le cas général sera :

(x2 + y2 - 4r2)3 = 108r4y2

  Une autre sextique étudiée dans ChronoMath : »


Néphroïde en tant qu'enveloppe d'une famille de cercles

La cardioïde (mot à mot : en forme de cœur) :

La cardioïde, appellation de Castillon (1741), s'obtient en tant qu'épicycloïde lorsque les rayons R et r sont égaux :

Équation paramétrée :    

A partir de l'équation générale des trochoïdes : x = r(n + 1)cost - k.cos(n + 1)t , y = r(n + 1)sint - k.sin(n + 1)ton obtient pour R = r, donc n = 1 :

x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t


La voici tracée par Graphmatica pour r = 1 :

Au moyen des identités trigonométriques élémentaires : cos2t = 2cos2t - 1 , sin2t = 2sint.cost, 1 - cost = 2sin2(t/2), on obtient une équation plus sympathique :

x = 2r.cost(1 - cost) et y = 2r.sint(1 - cost)

ou bien encore :

x = 4r.cost.sin2(t/2) et y = 4r.sintsin2(t/2)

Animation : »          Cardioïdographe sur YouTube : #1 , #2

Équation polaire de la cardioïde :    

La cardioïde est un cas particulier de conchoïde de cercle (k = a = 2).  L'équation polaire est alors :

ρ = 2cost - 2 = - 4sin2(t/2) ou bien, à une symétrie près par rapport à Oy : ρ = 4cos2(t/2)

Mais retrouvons ce résultat indépendamment en revenant à notre épicycloïde (figure ci-dessous) :

ρ = 4rcos2(t/2)

 

 !  Vu que x = ρ.cost et y = ρ.sint, on a ρ2 = x2 + y2. Mais rechercher ρ en calculant son carré est fortement déconseillé car une élévation au carré n'est pas une opération régulière : il y a perte d'information (par exemple, le signe de tout réel x est perdu puisque son carré est positif).

Notons (Γ) notre cardioïde. Si l'on trouve une courbe (K) par ce procédé, la courbe cherchée contiendra (K) mais rien n'assure que (Γ) = (K). Calculez donc ρ2 = x2 + y2 avec x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t. On obtient, en remplaçant 1 - cost par 2sin2(t/2), un résultat peu sympathique : ρ2 = r2 + 8r2sin2(t/2).

Translatons-nous en remplaçant x par x - r. On obtient : ρ = 4rsin2(t/2). Mais, il faut s'assurer que l'on est bien face à notre cardioïde en repassant en coordonnées paramétriques : on devra avoir x = ρcost et y = ρsint. Pour y, c'est ok.

Pour x, on obtient 2rcost(1 - cost) = 2rcost - 2rcos2t =  2rcost - 2rcos2t = 2rcost + r(- 1 - cos2t), soit x  = 2rcost + rcos2t - r : on retrouve x diminuée de r. C'est donc acceptable mais on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes : il a fallu effectuer une translation. Il y a des cas plus subtils où utiliser ρ2 = x2 + y2 s'avère une impasse :

Sextique de Cayley, une podaire de la cardioïde : »

Équation cartésienne de la cardioïde :

Vu que  ρ2 = x2 + y2 = 4r2(1 - cost)2, une petite manip sur les coordonnées paramétriques conduit facilement à une équation cartésienne de la forme :

(x2 + y2 + 2rx)2 = 4r2( x2 + y2)

Ce qui montre que la cardioïde est une quartique : courbe algébrique de degré 4. Noter que l'on peut également écrire

(x2 + y2 - 2rx)2 = 4r2( x2 + y2)

Cela revient à changer x en -x, donc à obtenir une cardioïde symétrique de la précédente par rapport à l'axe des ordonnées.


Génération d'une cardioïde en tant que podaire du cercle


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