ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les épicycloïdes : la néphroïde, la cardioïde                    » Cycloïde , hypocycloïde , épicycles

L'épicycloïde (mot à mot : en forme d'épicycle) est la courbe (lieu géométrique) décrite par un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur l'extérieur d'un cercle (C) de rayon R (pour un roulement intérieur, on parle d'hypocycloïde). Une épicycloïde peut aussi s'obtenir en tant qu'enveloppe de ses tangentes, comme la caustique. Ces courbes sont des cas particuliers de trochoïdes (du grec trechein = tourner).

 ➔   Rappelons que la cycloïde correspond à un cercle roulant sans glisser sur une droite.

 Équation générale des épicycloïdes : »             Néphroïdographe sur YouTube : »

Il s'agit d'une épicycloïde obtenue lorsque R = 2r. Avec r = 1, son équation est :

x = 3cost - cos3t ,  y = 3sint - sin3t

pouvant également s'écrire :

x = 6cost - 4cos³t , y = 4sin³t

On peut la faire apparaître la courbe au moyen d'un logiciel de construction de figures de géométriques, en utilisant une construction semblable à celle décrite pour l'hypocycloïde :

 ➔    En calculant x² + y², on obtient un résultat simple, à savoir = 10 - 6cos2t. Retirons 4 et élevons au cube :

(x² + y² - 4)³ = [6(1 - cos2t)]³ = [12sin²t]³ = 4³3³sin⁶t = 108y²

Ce qui montre que la néphroïde est une sextique : courbe algébrique de degré 6 dont une équation, dans le cas général sera :

(x² + y² - 4r²)³ = 108r⁴y²

  Une autre sextique étudiée dans ChronoMath : »

La cardioïde (mot à mot : en forme de cœur) :

La cardioïde, appellation de Castillon (1741), s'obtient en tant qu'épicycloïde lorsque les rayons R et r sont égaux :

Équation paramétrée :    

A partir de l'équation générale des trochoïdes : x = r(n + 1)cost - k.cos(n + 1)t , y = r(n + 1)sint - k.sin(n + 1)ton obtient pour R = r, donc n = 1 :

x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t

La voici tracée par Graphmatica pour r = 1 :

Au moyen des identités trigonométriques élémentaires : cos2t = 2cos²t - 1 , sin2t = 2sint.cost, 1 - cost = 2sin²(t/2), on obtient une équation plus sympathique :

x = 2r.cost(1 - cost) et y = 2r.sint(1 - cost)

ou bien encore :

x = 4r.cost.sin²(t/2) et y = 4r.sintsin²(t/2)

Animation : »          Cardioïdographe sur YouTube : #1 , #2

Équation polaire de la cardioïde :    

La cardioïde est un cas particulier de conchoïde de cercle (k = a = 2).  L'équation polaire est alors :

ρ = 2cost - 2 = - 4sin²(t/2) ou bien, à une symétrie près par rapport à Oy : ρ = 4cos²(t/2)

Mais retrouvons ce résultat indépendamment en revenant à notre épicycloïde (figure ci-dessous) :

• L'origine est A, le rayon vecteur est ρ = AM. Posons u = ^(Ax, AP).

• Selon la construction de M, dans le triangle AMP, on a AT = TP = TM : le triangle AMP est donc rectangle en M.

• ^PAM = u, AT = 2rcosu, AP = 2AT (observer la figure et son codage), d'où AM = APcos u = 4rcos²u.

• ^(Ax, AP). = ½^(Ax, AM) = ½t. Par conséquent :

ρ = 4rcos²(t/2)

 !  Vu que x = ρ.cost et y = ρ.sint, on a ρ² = x² + y². Mais rechercher ρ en calculant son carré est fortement déconseillé car une élévation au carré n'est pas une opération régulière : il y a perte d'information (par exemple, le signe de tout réel x est perdu puisque son carré est positif).

Notons (Γ) notre cardioïde. Si l'on trouve une courbe (K) par ce procédé, la courbe cherchée contiendra (K) mais rien n'assure que (Γ) = (K). Calculez donc ρ² = x² + y² avec x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t. On obtient, en remplaçant 1 - cost par 2sin²(t/2), un résultat peu sympathique : ρ² = r² + 8r²sin²(t/2).

Translatons-nous en remplaçant x par x - r. On obtient : ρ = 4rsin²(t/2). Mais, il faut s'assurer que l'on est bien face à notre cardioïde en repassant en coordonnées paramétriques : on devra avoir x = ρcost et y = ρsint. Pour y, c'est ok.

Pour x, on obtient 2rcost(1 - cost) = 2rcost - 2rcos²t =  2rcost - 2rcos²t = 2rcost + r(- 1 - cos2t), soit x  = 2rcost + rcos2t - r : on retrouve x diminuée de r. C'est donc acceptable mais on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes : il a fallu effectuer une translation. Il y a des cas plus subtils où utiliser ρ² = x² + y² s'avère une impasse :

Sextique de Cayley, une podaire de la cardioïde : »

Vu que  ρ² = x² + y² = 4r²(1 - cost)², une petite manip sur les coordonnées paramétriques conduit facilement à une équation cartésienne de la forme :

(x² + y² + 2rx)² = 4r²( x² + y²)

Ce qui montre que la cardioïde est une quartique : courbe algébrique de degré 4. Noter que l'on peut également écrire

(x² + y² - 2rx)² = 4r²( x² + y²)

Cela revient à changer x en -x, donc à obtenir une cardioïde symétrique de la précédente par rapport à l'axe des ordonnées.