ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les épicycloïdes : la néphroïde, la cardioïde               Trochoïdes , cycloïde , hypocycloïde , épicycles

L'épicycloïde (mot à mot : en forme d'épicycle) est la courbe (lieu géométrique) décrite par un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur l'extérieur d'un cercle (C) de rayon R (pour un roulement intérieur, on parle d'hypocycloïde). Une épicycloïde peut aussi s'obtenir en tant qu'enveloppe de ses tangentes, comme la caustique.

  Rappelons que la cycloïde correspond à un cercle roulant sans glisser sur une droite.

 Équation générale : 

Il s'agit d'une épicycloïde obtenue lorsque R = 2r. Avec r = 1, son équation est :

x = 3cost - cos3t = 6cost - 4cos³t  ,  y = 3sint - sin3t = 4sin³t

pouvant également s'écrire :

x = 6cost - 4cos³t , y = 4sin³t

On peut la faire apparaître la courbe au moyen d'un logiciel de construction de figures de géométriques, en utilisant une construction semblable à celle décrite pour l'hypocycloïde :

 En calculant x² + y², on obtient un résultat simple, à savoir = 10 - 6cos2t. Retirons 4 et élevons au cube :

(x² + y² - 4)³ = [6(1 - cos2t)]³ = [12sin²t]³ = 4³3³sin⁶t = 108y²

Ce qui montre que la néphroïde est une sextique : courbe algébrique de degré 6 dont une équation, dans le cas général sera :

(x² + y² - 4r²)³ = 108r⁴y²

  Une autre sextique étudiée dans ChronoMath :

La cardioïde (mot à mot : en forme de cœur) :

La cardioïde, appellation de Castillon (1741), est une épicycloïde obtenue (à gauche) lorsque les rayons R et r sont égaux. Son équation est : x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t ou encore, au moyen des identités : cos2t = 2cos2t - 1 , sin2t = 2sint.cost 1 - cost = 2sin2(t/2) x = 2r.cost(1 - cost) et y = 2r.sint(1 - cost) ou bien encore : x = 4r.cost.sin2(t/2) et y = 4r.sintsin2(t/2)

Animation :

C'est un cas particulier (à droite) de conchoïde de cercle (k = a = 2) dont l'équation polaire est (r désignant ici le rayon-vecteur) :

r = 2cost - 2 = - 4sin²(t/2)  

ou bien, à une symétrie près /Oy :

r = 4cos²(t/2)

Mais retrouvons ce résultat indépendamment en revenant à notre épicycloïde (figure ci-dessous) :

L'origine est A, le rayon vecteur est r = AM. Posons u = ^(Ax, AP).

Selon la construction de M, dans le triangle AMP, on a AT = TP = TM : le triangle AMP est donc rectangle en M et AT = 2rcos u = TP. ^PAM = u, d'où AM = APcos u = 4rcos²u. Mais ^(Ax, AP). = ½^(Ax, AM) = ½t.

Par conséquent : r = 4rcos²(t/2)

Attention : vu que x = r.cost et y = r.sint, on a r² = x² + y². Mais rechercher r en calculant son carré est fortement déconseillé car une élévation au carré n'est pas une opération régulière : il y a perte d'information (par exemple tout réel x est de carré positif). Notons (G) notre cardioïde. Si l'on trouve une courbe (K) par ce procédé, la courbe cherchée contiendra K mais rien n'assure que (G) = (K).

Calculez donc r² = x² + y² avec x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t. On obtient, en remplaçant 1 - cost par 2sin²(t/2), r² = r² + 8r²sin²(t/2). Pas très sympathique.

Translatons-nous en remplaçant x par x - r. On obtient : r = 4rsin²(t/2). Mais, il faut s'assurer que l'on est bien face à notre cardioïde en repassant en coordonnées paramétriques : on devra avoir x = rcost et y = rsint. Pour y, c'est ok.

Pour x, on obtient 2rcost(1 - cost) = 2rcost - 2rcos²t =  2rcost - 2rcos²t = 2rcost + r(- 1 - cos2t), soit x  = 2rcost + rcos2t - r : on retrouve x diminuée de r. C'est donc acceptable mais on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes : il a fallu effectuer une translation. Il y a des cas plus subtils où utiliser r² = x² + y² s'avère une impasse :

Sextique de Cayley, une podaire de la cardioïde :

Vu que  r² = x² + y² = 4r²(1 - cost)², une petite manip sur les coordonnées paramétriques conduit facilement à une équation cartésienne de la forme :

(x² + y² + 2rx)² = 4r²( x² + y²)

Ce qui montre que la cardioïde est une quartique : courbe algébrique de degré 4. noter que l'on peut également écrire

(x² + y² - 2rx)² = 4r²( x² + y²)

Cela revient à changer x en -x, donc à obtenir une cardioïde symétrique de la précédente par rapport à l'axe des ordonnées.