ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les épicycloïdes : la néphroïde, la cardioïde            
       Cycloïde , hypocycloïde ,
épicycles

L'épicycloïde (mot à mot : en forme d'épicycle) est la courbe (lieu géométrique) décrite par un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser sur l'extérieur d'un cercle (C) de rayon R (pour un roulement intérieur, on parle d'hypocycloïde). Une épicycloïde peut aussi s'obtenir en tant qu'enveloppe de ses tangentes, comme la caustique. Ces courbes sont des cas particuliers de trochoïdes.

  Rappelons que la cycloïde correspond à un cercle roulant sans glisser sur une droite.

 Équation générale :                    Néphroïdographe sur YouTube :

La néphroïde (ci-dessus, mot à mot : en forme de rein) :

Il s'agit d'une épicycloïde obtenue lorsque R = 2r. Avec r = 1, son équation est :

x = 3cost - cos3t = 6cost - 4cos3t  ,  y = 3sint - sin3t = 4sin3t

pouvant également s'écrire :

x = 6cost - 4cos3t , y = 4sin3t

On peut la faire apparaître la courbe au moyen d'un logiciel de construction de figures de géométriques, en utilisant une construction semblable à celle décrite pour l'hypocycloïde :

Animation :             Développée de la néphroïde :            Caustique par réflexion :

 En calculant x2 + y2, on obtient un résultat simple, à savoir = 10 - 6cos2t. Retirons 4 et élevons au cube :

(x2 + y2 - 4)3 = [6(1 - cos2t)]3 = [12sin2t]3 = 4333sin6t = 108y2

Ce qui montre que la néphroïde est une sextique : courbe algébrique de degré 6 dont une équation, dans le cas général sera :

(x2 + y2 - 4r2)3 = 108r4y2

  Une autre sextique étudiée dans ChronoMath :

  Néphroïde en tant qu'enveloppe d'une famille de cercles

La cardioïde (mot à mot : en forme de cœur) :

La cardioïde, appellation de Castillon (1741), s'obtient en tant qu'épicycloïde lorsque les rayons R et r sont égaux :

Son équation est :

x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t

ou encore, au moyen des identités :

x = 2r.cost(1 - cost) et y = 2r.sint(1 - cost)

ou bien encore :

x = 4r.cost.sin2(t/2) et y = 4r.sintsin2(t/2)

Animation :                 Cardioïdographe sur YouTube : #1 , #2

Équation polaire de la cardioïde :

La cardioïde est un cas particulier (ci-dessous) de conchoïde de cercle (k = a = 2) dont l'équation polaire est, ρ désignant ici le rayon-vecteur : ρ = 2cost - 2 = - 4sin2(t/2), ou bien, à une symétrie près par rapport à Oy : ρ = 4cos2(t/2).

Mais retrouvons ce résultat indépendamment en revenant à notre épicycloïde (figure ci-dessous) :

ρ = 4rcos2(t/2)

 

   Attention :   

Vu que x = ρ.cost et y = ρ.sint, on a ρ2 = x2 + y2. Mais rechercher ρ en calculant son carré est fortement déconseillé car une élévation au carré n'est pas une opération régulière : il y a perte d'information (par exemple tout réel x est de carré positif). Voyons cela :

Notons (Γ) notre cardioïde. Si l'on trouve une courbe (K) par ce procédé, la courbe cherchée contiendra (K) mais rien n'assure que (Γ) = (K). Calculez donc ρ2 = x2 + y2 avec x = 2rcost - r.cos2t , y = 2rsint - r.sin2t. On obtient, en remplaçant 1 - cost par 2sin2(t/2), un résultat peu sympathique : ρ2 = r2 + 8r2sin2(t/2).

Translatons-nous en remplaçant x par x - r. On obtient : ρ = 4rsin2(t/2). Mais, il faut s'assurer que l'on est bien face à notre cardioïde en repassant en coordonnées paramétriques : on devra avoir x = ρcost et y = ρsint. Pour y, c'est ok.

Pour x, on obtient 2rcost(1 - cost) = 2rcost - 2rcos2t =  2rcost - 2rcos2t = 2rcost + r(- 1 - cos2t), soit x  = 2rcost + rcos2t - r : on retrouve x diminuée de r. C'est donc acceptable mais on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes : il a fallu effectuer une translation. Il y a des cas plus subtils où utiliser ρ2 = x2 + y2 s'avère une impasse :

Sextique de Cayley, une podaire de la cardioïde :

Équation cartésienne de la cardioïde :

Vu que  ρ2 = x2 + y2 = 4r2(1 - cost)2, une petite manip sur les coordonnées paramétriques conduit facilement à une équation cartésienne de la forme :

(x2 + y2 + 2rx)2 = 4r2( x2 + y2)

Ce qui montre que la cardioïde est une quartique : courbe algébrique de degré 4. Noter que l'on peut également écrire

(x2 + y2 - 2rx)2 = 4r2( x2 + y2)

Cela revient à changer x en -x, donc à obtenir une cardioïde symétrique de la précédente par rapport à l'axe des ordonnées.

  Génération d'une cardioïde en tant que podaire du cercle


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