ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Paradoxe de Saint-Pétersbourg          » programme pile ou face

Ce paradoxe porte sur le calcul des probabilités et le concept abstrait d'espérance mathématique. Il est dû à Nicolas Bernoulli Ier dans la brillante dynastie des Bernoulli, qui le présenta en 1713 dans une lettre à un ami Pierre Raymond de Montmort. Il fut tout particulièrement étudié par son cousin Daniel, en poste à Saint-Pétersbourg :

•  Deux joueurs A et B jouent à "pile" ou "face". A commence et rejoue tant que "face" n'apparaît pas.

•  Suivant que "face" apparaît au 1er, 2ème, 3ème, 4ème ..., n-ème coup, B devra donner 1 ducat, 2 ducats, 4 ducats, 8 ducats, ..., 2^n-1 ducats à A.

Quelle somme A devrait-il verser à B (mise) pour que le jeu soit équitable ? A va-t-il se risquer ?...

 i  Pierre Raymond de Montmort (1678-1719), mathématicien français qui s'intéressa principalement au calcul des probabilités. Élu à de l'Académie des sciences en 1716, il fut également membre de la Royal Society (1715).

 i  Un ducat était une pièce de monnaie en or (ou argent) à cette époque et qu'un jeu aléatoire à deux joueurs est dit équitable si l'espérance de gain de chaque joueur est la même ou encore, en notant positivement les gains de l'un et négativement les gains de l'autre, l'espérance relative est nulle.

Le problème se résout aisément en termes d'espérance mathématique de gain : la probabilité de l'événement ["face" n'apparaît qu'au n-ème coup] est :

L'espérance E de gain du joueur A est donc la somme :

E = 1 × 1/2 + 2 × (1/2)² + 4 × (1/2)³ + 8 × (1/2)⁴ + ... + 2^n-1 × (1/2)ⁿ + ...

Tous les termes de la somme égalent 1/2. C'est dire finalement que l'espérance de gain du joueur A est infinie!

 ➔  Et pourtant, si vous jouez à "pile" ou "face", vous aurez vite fait d'obtenir "face". L'événement [n'obtenir "face" qu'au 10e coup] est déjà "hautement" improbable : sa probabilité est 1/1024 < 0,001. Ainsi, en toute équité, le jeu ne devrait pas avoir lieu, la fortune de A étant nécessairement finie et quand bien même A serait très fortuné, il hésitera grandement à la mettre à disposition de B...

Ce problème fit couler beaucoup d'encre et fut étudié par Daniel Bernoulli, cousin de Nicolas, Buffon, d'Alembert, Cramer et bien d'autres, y compris des philosophes, car il soulevait un problème d'espérance mathématique face, en quelque sorte, à une espérance métaphysique.

On note que la progression des gains est très rapide (suite géométrique de raison 2). On pourrait remplacer 2 par un nombre inférieur q et reprendre les calculs : l'espérance de gain de A est alors :

car, compte tenu de notre hypothèse sur q, la limite de (q/2)ⁿ , pour n infini , est nulle. Le gain infini de A apparaît comme cas limite (lorsque q tend vers 2).

En faisant varier q, on peut alors établir la liste des gains de A et le pécule qu'il devra céder à B au début du jeu. Dans tous les cas, et en l'absence de toute contrainte, il semble préférable de renoncer à ce jeu trop hasardeux tant dans le rôle de A que dans celui de B..

Comme le fit Buffon à la main (pour 2048 jeux), demandons à l'ordinateur, de simuler le jeu de pile ou face afin d'étudier la distribution des faces.

 !  On ne tirera aucune conclusion d'une telle expérience dont l'issue est évidemment... aléatoire ! Par contre, on pourra s'interroger sur les résultats des fréquences rencontrées.