ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 KOLMOGOROV Andreï
Nicolaiévitch,
russe, 1903-1987 |
Élève
de
Luzin et d'Uryson
à
l'université de Moscou, Kolmogorov
(ou Kolmogoroff comme l'écrivait Bourbaki)
y sera enseignant chercheur à 22 ans,
puis professeur (1931). Il en dirigera le département de
mathématiques dès 1933.
Cet éminent mathématicien russe est principalement connu pour avoir fondé (1929) dans le cadre de ses recherches en théorie du potentiel, une théorie axiomatique des probabilités : Théorie générale de la mesure et théorie des probabilités et (publié en allemand en 1933) : Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeits-rechnung, soit : Notions fondamentales du calcul des probabilités.
On lui doit également avec Vladimir Arnold, alors un de ses étudiants, la résolution du 13è problème de Hilbert (1954). Kolmogorov fut élu à l'Académie des sciences de l'URSS en 1939.
Concernant la théorie des probabilités, la célébrité de
Kolmogorov ne doit pas occulter les résultats obtenus aux Etats-Unis et en
France par, respectivement, Joseph Doob
(1910-2004) et Paul-André
Meyer (1934-2003). Le premier se
consacre aux processus stochastiques,
sur lesquels travailla Kolmogorov, en créant le
concept de martingale. Le second prolonge les résultats de
Doob à la
théorie du potentiel dans le cadre de la théorie de
la mesure.
Ne pas oublier, cependant, que le calcul des probabilités est né plus de 300 ans auparavant avec Fermat, Pascal (1654) et développé plus tard avec Jacques Bernoulli et son Ars conjectandi (1713).
Les travaux de Kolmogorov portèrent également sur l'analyse de Fourier, systèmes dynamiques, la théorie ergodique, associés à des recherches en physique mathématique sur l'hydrodynamique (phénomènes de turbulence en mécanique des fluides) le conduisant (1961) à concevoir les ensembles fractals. Enseignant hors pair, Kolmogorov reçut le prix Balzan 1962 et le prix Wolf 1980 (partagé avec H. Cartan).
Le prix Balzan :
Il prix Balzan récompense tous les ans un à quatre haut personnage des arts, des sciences ou des lettres. Il fut institué en 1956 par Angela Lina Balzan en mémoire de son père Eugenio, directeur du grand journal milanais Corriere della Serra, passionné d'art et de science. La famille Balzan étaient installée à Lugano en Suisse italienne. Annoncé à Milan, le prix est décerné alternativement à Rome et à Berne en novembre de chaque année. Son montant est de 1 000 000 de francs suisses, soit environ 700 000 euros.
Pour en savoir
plus :
| Définition axiomatique d'un espace probabilisé (1933) : |
Kolmogorov définit une probabilité dans un ensemble au moyen d'axiomes simples mais faisant usage des concepts récents de l'époque : théorie de la mesure et tribus (définies par Borel), calcul intégral au sens de Lebesgue (intervenant par exemple dans le calcul des espérance mathématique et variance d'une variable aléatoire. Avec Kolmogorov, le calcul des probabilités, jusqu'ici basé sur des concepts intuitifs, devient une branche rigoureuse des mathématiques.
Dans le cas élémentaire d'un ensemble W de cardinal
fini, en notant 
(W)
l'ensemble de ses parties, une probabilité sur W
est une application p de (W)
vers [0,1] vérifiant :
B) = p(A) + p(B) pour toutes parties A et B d'intersection
vide, c. à d. A
B
= Æ.Afin de rendre cette axiomatique probabiliste compatible avec la théorie de la mesure, Kolmogorov ajouta un axiome dit de continuité dénombrable :
Si les Ai constituent une suite
décroissante d'événements (au sens de l'inclusion A1
A2
...An...),
dont l'intersection est vide, alors lim Prob(An)
= 0.
Les éléments de W sont appelées éventualités, une partie A, (donc un ensemble d'éventualités) est un événement. Une situation simple est celle où les éventualités ont la même probabilité de réalisation. On parle d'équiprobabilité.
On dit naïvement que les éventualités ont chacune
autant de chances de se réaliser.
Ce terme de chance utilisé tant en France, avec
Pascal par exemple, qu'en Angleterre avec de Moivre,
rappelle que le calcul des probabilités trouve son origine dans les jeux de
hasard et n'oublions pas que hasard vient de l'arabe ez zahr = dé
à jouer, mot utilisé également pour désigner la chance !
Exercices élémentaires
On lance deux dés non truqués (faces numérotées de 1 à 6).
a/ Quelle est la
probabilité p d'obtenir le double six.
Rép : 1 seul cas
"favorable" 6 et 6. 6
6=
36 cas "possibles". p = 6/36 = 1/6
b/ Quelle est la
probabilité p d'obtenir un nombre (de 2 chiffres) qui ne soit pas divisible par
3 ?
c/
Quelle est la probabilité de rencontrer dans une classe de
24 élèves, au moins deux bambins nés le même
jour, en admettant l'équiprobabilité des naissances chaque jour de l'année et ce
quelle que soit l'année (supposée comporter 365 jours) ?
Pour des exercices plus élaborés, on consultera aux
Lycée et
Sup les pages d'exercices de
ChronoMath
Borel et la notion de tribu :
Cantor et la théorie des ensembles :
De cette simple définition, suit un ensemble de formules fondamentales comme :
p(A)
1
B, alors p(A)
p(B)B)
= p(A) + p(B) - p(AB)
Plus généralement, on
appelle système complet d'événements toute
partition (Ai) de W, et l'on a
Sp(Ai) = 1.
Rappel : au sens des ensembles, une partition (Ai) de
W
est un ensemble de parties disjointes de W dont la
réunion est W. En d'autres
termes :
Ai
= W et Ai
Aj =
Æ pour tout i
j.
Si, pour un ensemble d'événements Ai
de W, on a Sp(Ai)
= 1 , il n'est pas assuré qu'il s'agisse d'une
partition de W !
Dans le cas du jet d'un dé, posons A1
= "obtenir un multiple de 3", A2 = "obtenir un chiffre plus petit
que 5".
On a p(A1) + p(A2) = 1/3 + 2/3 = 1 mais
p(A1
A2) =
p("obtenir le 3") = 1/6.
Noter aussi que A1
A2
=
{3;6}
{1;2;3;4} = {1;2;3;4;6}
W
!
Concernant les probas, voir des
exercices à tous les niveaux dans les index d'exercices
CLG,
LYC et SUP
Pascal
, Jacques
Bernoulli ,
Bayes
, Pascal
, Laplace,
Gauss
, Tchebychev
,
Poisson
, Cantelli , ...Événements indépendants, arbre
d'événements, probabilité conditionnelle :
| Loi forte des grands nombres selon Kolmogorov (1930) : |
La loi régissant la moyenne d'une suite de variables aléatoires fut mise en lumière par Jacques Bernoulli dans une première version dite faible depuis celle de Borel, dite forte. En 1930, dans une communication à l'Académie des sciences de Paris intitulée Sur la loi forte des grands nombres, Kolmogorov énonce le résultat suivant :
Soit (Xn) une suite (infinie) de variables aléatoires numériques indépendantes, d'espérance mathématique E(Xn) et de variance V(Xn) fini. Si lim E(Xn) = m fini et si la série ΣV(Xn)/n2 converge, alors on a presque surement :
Cette limite n'est donc pas aléatoire. Ce résultat rappelle les sommes de Cesaro et, comme le note Jean Bass (ref. 3), un aspect de l'hypothèse ergodique rencontré en physique : par exemple, dans le cas historique de la théorie cinétique des gaz (mécanique statistique), afin d'évaluer la température d'un échantillon moléculaire significatif, on peut soit :
relever à un instant t les températures sur toutes les molécules et en prendre la moyenne m.
relever les températures Xi d'une molécule à des instants ti en grand nombre et en prendre la moyenne.
Site
russe :
http://www.pms.ru/kolmogorov/index.html
| Loi du zéro-un (ou du tout ou rien) de Kolmogorov : |
Certains événements d'un espace probabilisé peuvent se présenter avec une seule alternative de probabilité : 0 ou 1. On parle de loi du zéro-un ou du tout ou rien apparaissant dans la théorie des probabilités de Kolmogorov en 1933.
Dans un espace probabilisé, considérons une
suite (Xn) de
variables aléatoires numériques et l'événement A = {lim Xn
= 0}. Pour tout n donné, A ne dépend pas de Xi,
i 
n. On dit
que A est un événement queue. La loi du
zéro-un de Kolmogorov peut alors s'énoncer :
Tout événement queue d'une suite de variables aléatoires indépendantes est de probabilité 0 ou 1.
Lemme de Borel-Cantelli :
Variables aléatoires indépendantes :
| Espace de Kolmogorov : |
Après Fréchet et Hausdorff, Kolmogorov introduisit un axiome de séparation dans un espace topologique :
Quels que soient x et y dans E, il
existe (au moins) un voisinage V de x tel que y
V ou un
voisinage W de y tel que x
W.
Cet axiome est donc moins fort que celui de Fréchet, lequel est moins fort que celui d'Hausdorff. Dans un tel espace, toute partie finie non vide admet au moins un point isolé et si X n'admet pas de point isolé, alors tout ouvert de X est infini.
Pour en savoir plus :
Tout savoir sur Kolmogorov :
http://www.kolmogorov.com/
http://www.unige.ch/math/folks/velenik/papers/LN-PS.pdf, page de Y. Velenik, université de Genève.
Éléments de Mathématique, Topologie générale, Ch. 1. N. Bourbaki, Éd. Hermann, Paris - 1965
Markov
A. A. jr