ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Puissance d'un point par rapport à un cercle
   
axe radical , cercles orthogonaux , cercles pseudo-orthogonaux

La puissance d'un point par rapport à un cercle, aujourd'hui disparue des programmes de l'enseignement secondaire, est le point de départ de très belles méthodes et de très beaux résultats de géométrie qui, avec la notion de division harmonique, elle aussi délaissée, amènent à la géométrie projective.

Considérons un cercle (c) et un point M extérieur à ce cercle comme schématisé ci-dessous :

Les triangles MBC et MDA sont semblables car ils ont d'une part ^M en commun, et d'autre part ^MBC = ^MDA (angles inscrits). Par suite :

MB / MD = MC / MA

C'est dire que :

MA x MB = MC x MD

Le cas de la figure "croisée" ci-dessous est semblable (sans jeu de mots...). On remarque qu'en mesure algébrique les produits seraient tous deux négatifs :

 En conséquence : si d'un point M situé hors d'un cercle (c), on mène une sécante (MAB), le produit :

 P/(c)(M) = MA x MB

est constant. P/(c)(M) est la puissance de M par rapport à (c).

Inversement :       

A, B, C et D étant donnés, M désignant l'intersection de (AB) et (CD), si :

alors A, B, C et D sont sur un même cercle.

Ce résultat est facilement vérifiable au moyen d'un raisonnement par l'absurde. Donc :

Condition de cocyclicité (parfois dite de Feuerbach) :   

Une condition nécessaire et suffisante pour que quatre points A, B, C et D, dont trois d'entre eux ne sont pas alignés, (AB) et (CD) se coupant en M, soient sur un même cercle (points cocycliques) est :

  
Points cocycliques et angles orientés de vecteurs , Inversion géométrique , Théorème de Ptolémée , Vigie

Cas de la tangente :

Supposons que la sécante (MAB) de la figure 1 pivote autour de M jusqu'à confusion de A et de B. On a par continuité :

P/(c)(M) = MC x MD = MA2

 On démontre facilement la réciproque : M, A et B étant trois points alignés dans cet ordre et C un point du plan non situé sur (AB), si

alors (MC) est la tangente en C au triangle ABC.

Propriété fondamentale :     

On peut évaluer la puissance de M en fonction du rayon R du cercle et de la distance d = OM de M au centre O du cercle, en choisissant [AB] diamètre du cercle (c) : MA.MB = (d - R)(d + R) = d2 - R2.

P/(c)(M) = d2 - R2
 

Axe radical, centre radical :

Étant donnés deux cercles (c) et (c') de centres O et O', de rayons r et r', on peut s'intéresser à l'ensemble des points M ayant même puissance par rapport à (c) et à (c'). Ce lieu géométrique est défini par :

MO2 - MO'2 = r2 - r'2

 

Le second membre est constant, notons-le k. On peut appeler I le milieu de [OO'], choisir I comme origine et factoriser le 1er membre en tant que produit scalaire (MO - MO').(MO + MO'). Projetons sur l'axe (OO'); on a alors, en notant H la projection orthogonale de M sur (OO') :

Ce qui prouve que H est fixe. L'ensemble cherché est donc une droite perpendiculaire à (OO') appelé axe radical des cercles (c) et (c').

  Le point J est appelé centre radical des 3 cercles ci-dessus. Ce centre n'existe que si O, O' et O" ne sont pas alignés. Eu égard au cas de la tangente, l'axe radical de deux cercles non sécants peut aussi s'obtenir comme indiqués ci-dessous, (t) et (t') sont les tangentes communes aux deux cercles :

  G. de Longchamps                             Hipparque & projection stéréographique :
Cercles orthogonaux, cercles pseudo-orthogonaux :

Deux cercles sécants sont dits orthogonaux si les tangentes en l'un des points d'intersection (comme A ci-dessus) sont perpendiculaires.

Cette définition exprime en particulier que le triangle OAO', rectangle en A, vérifie OO'2 = OA2 + O'A2, et selon la propriété fondamentale de la puissance d'un point par rapport à un cercle, on peut énoncer :

Deux cercles sécants (c) et (c') de centres O et O' sont orthogonaux si et seulement si la puissance du centre de l'un par rapport à l'autre est égale au carré de son propre rayon : P/(c')(O) = r2.

On peut aussi remarquer que si le prolongement d'un diamètre [CD] de (c) coupe (c') en E et F, on aura : P/(c')(O) = r2 = OC2 = OD2. O étant le milieu de [CD], on en déduit que ( division harmonique) la division [E,F,C,D] est harmonique :

Deux cercles sécants (c) et (c') sont orthogonaux si et seulement si un diamètre de l'un divise l'autre harmoniquement.

Cercle pseudo-orthogonal à un autre :    

Etant donné deux cercles sécants (c) et (c'), on dira que (c) pseudo-orthogonal à (c') ou que (c) est coupé pseudo-orthogonalement par (c') lorsque ce dernier coupe (c) suivant un diamètre de (c).

On remarquera que, contrairement à la notion de cercles orthogonaux ci-dessus, la locution (c) et (c') sont pseudo-orthogonaux est incorrecte.

Dans ce cas de figure, l'axe radical des deux cercles est un diamètre de (c). Le point O a même puissance par rapport à (c) et à (c') : or P/(c)(O) = 0 - r2 = - r2, c'est donc aussi P/(c')(O) :

Le cercle (c) est coupé pseudo-orthogonalement par (c') si et seulement si la puissance de son centre par rapport à (c') est égale à l'opposé du carré de son propre rayon : P/(c')(O) = - r2.

Usage de cette notion dans la recherche du cercle orthoptique de l'ellipse (cercle de Monge) :


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