ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Puissance d'un point par rapport à un cercle     » axe radical , cercles orthogonaux , cercles pseudo-orthogonaux

La puissance d'un point par rapport à un cercle, aujourd'hui disparue des programmes de l'enseignement secondaire, est le point de départ de très belles méthodes et de très beaux résultats de géométrie qui, avec la notion de division harmonique, elle aussi délaissée, amènent à la géométrie projective.

Considérons un cercle (c) et un point M extérieur à ce cercle comme schématisé ci-dessous :

Les triangles MBC et MDA sont semblables car ils ont d'une part ^M en commun, et d'autre part ^MBC = ^MDA (angles inscrits). Par suite :

C'est dire que :

Le cas de la figure "croisée" ci-dessous est semblable (sans jeu de mots...). On remarque qu'en mesure algébrique les produits seraient tous deux négatifs :

♦ En conséquence : si d'un point M situé hors d'un cercle (c), on mène une sécante (MAB), le produit :

 P_/(c)(M) = MA x MB

est constant. P_/(c)(M) est la puissance de M par rapport à (c).

Inversement :       

A, B, C et D étant donnés, M désignant l'intersection de (AB) et (CD), si :

alors A, B, C et D sont sur un même cercle.

Ce résultat est facilement vérifiable au moyen d'un raisonnement par l'absurde. Donc :

Condition de cocyclicité (parfois dite de Feuerbach) :   

Une condition nécessaire et suffisante pour que quatre points A, B, C et D, dont trois d'entre eux ne sont pas alignés, (AB) et (CD) se coupant en M, soient sur un même cercle (points cocycliques) est :

∗∗∗  
Points cocycliques et angles orientés de vecteurs , Inversion géométrique , Théorème de Ptolémée , Vigie

Cas de la tangente :

Supposons que la sécante (MAB) de la figure 1 pivote autour de M jusqu'à confusion de A et de B. On a par continuité :

P_/(c)(M) = MC x MD = MA²

♦ On démontre facilement la réciproque :

M, A et B étant trois points alignés dans cet ordre et C un point du plan non situé sur (AB),
si MA × MB = MC² alors (MC) est la tangente en C au triangle ABC.

Propriété fondamentale :     

On peut évaluer la puissance de M en fonction du rayon R du cercle et de la distance d = OM de M au centre O du cercle, en choisissant [AB] diamètre du cercle (c) : MA.MB = (d - R)(d + R) = d² - R².

Étant donnés deux cercles (c) et (c') de centres O et O', de rayons r et r', on peut s'intéresser à l'ensemble des points M ayant même puissance par rapport à (c) et à (c'). Ce lieu géométrique est défini par :

Le second membre est constant, notons-le k. On peut appeler I le milieu de [OO'], choisir I comme origine et factoriser le 1er membre en tant que produit scalaire (MO - MO').(MO + MO'). Projetons sur l'axe (OO'); on a alors, en notant H la projection orthogonale de M sur (OO') :

Ce qui prouve que H est fixe. L'ensemble cherché est donc une droite perpendiculaire à (OO') appelé axe radical des cercles (c) et (c').

• Pour deux cercles sécants, c'est la droite passant par les points d'intersection (la puissance y est nulle, donc la même).

• Pour deux cercles tangents, c'est la tangente commune.

• Lorsque les cercles n'ont aucun point commun, on se ramène au cas sécant au moyen d'un cercle auxiliaire permettant de trouver un point J de l'axe radical qui sera la perpendiculaire à (OO') passant par J :

 ➔   Le point J est appelé centre radical des 3 cercles ci-dessus. Ce centre n'existe que si O, O' et O" ne sont pas alignés. Eu égard au cas de la tangente, l'axe radical de deux cercles non sécants peut aussi s'obtenir comme indiqués ci-dessous, (t) et (t') sont les tangentes communes aux deux cercles :