ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PEARSON Karl, anglais, 1857-1936
      » Écart-type et variance | histogramme | coefficient de corrélation

Mathématicien, physicien, historien, Pearson eut Burnside, Cayley et Stockes comme professeurs à l'université de Cambridge. Il fut grandement impressionné par son compatriote Francis Galton, éminent savant, physiologiste, fondateur de l'eugénisme visant à  parfaire les caractères génétiques de l'espèce humaine. Il sera d'ailleurs l'éditeur de Biometrika, fondé par Galton, et à l'origine des Annals of Eugenics (1925).

L'influence de ce dernier, qui fut tuteur de sa thèse (1879), le conduit finalement vers la statistique et il enseignera à l'University College de Londres après avoir poursuivi des études en sciences humaines en Allemagne (métaphysique, darwinisme).

Très importants travaux sur les distributions statistiques, la corrélation, les problèmes d'estimation sur échantillons pour lesquels il collabora avec Gosset, alias Student et Fisher (malgré des désaccords). Pearson est souvent considéré comme le fondateur de la statistique moderne. Son fils Egon Sharpe fut également statisticien.

Les notions de base de la statistique descriptive :  »

Loi de Pearson, également dite loi du  χ2  (lire « khi 2 ») , test du  χ2 :

Introduite par Pearson en 1900, cette célèbre loi de probabilités fut en fait préalablement étudiée par l'astronome et géodésien allemand Friedrich Robert Helmert (1843-1917), auteur d'une Théorie mathématique et physique de géodésie supérieure (1880) dans le cadre de la théorie des erreurs. On la retrouve en fait plus avant encore sous la plume du français Bienaymé (bien connu pour la célèbre inégalité portant son nom) en application du théorème central limite appliquée à la loi multinomiale.

Son usage permet de confirmer ou infirmer avec un seuil de sûreté choisi par le statisticien (exprimé en termes de pourcentages), une hypothèse faite sur un phénomène aléatoire. La probabilité que χ2 soit inférieur à un réel α (seuil de probabilité) donné positif est :

 Étude de la loi de Pearson : »             » Student

On doit en outre à Pearson :

L'appellation loi normale pour désigner la seconde loi de Laplace (voir ici la 1ère) dans le cadre de l'estimation des erreurs d'observation, également dite de Laplace-Gauss ou distribution gaussienne. Il s'agit de "normal" au sens de "naturel".

Cette loi de probabilité intervient dans de nombreux de phénomènes quantitatifs aléatoires continus soumis à de multiples causes (aucune d'entre elles n'étant prépondérante), agissant additivement et indépendamment l'une de l'autre et dont la répartition des valeurs s'étale autour de leur moyenne. Ce qui est le cas d'un grand nombre de phénomènes naturels observables complexes (biologiques, sociologiques, astronomiques, ...).

Sur la page consacrée à Galton, on constatera la volonté de la Nature et du Hasard (deux concepts intimement liés) de guider des billes afin d'obtenir la célèbre cloche de Gauss...


Dans une classe de niveau normal, il est n'est pas anormal d'obtenir des diagrammes de notes rappelant la cloche de Gauss
(série unimodale), c'est à dire la loi normale...

Le terme de standard deviation (1893) pour signifier la racine carrée de la variance, ce que l'on appelle aujourd'hui l'écart-type ou l'écart quadratique moyen , à distinguer de l'écart moyen arithmétique peu pratique (» stat. élémentaires).

»  Huygens , Koenig

Cas des études statistiques à deux variables :  »             Cas d'une variable aléatoire continue :  »

La notion d'histogramme :     

Un histogramme est une représentation graphique, au moyen de rectangles, d'une série de valeurs regroupées en classes (non nécessairement de même amplitude. On porte en abscisse l'amplitude des classes et l'aire d'un rectangle devra être proportionnelle à l'effectif des classes (où -ce qui revient au même- à la fréquence). Par suite, si les classes, n'ont pas toutes la même amplitude, à effectif égal, deux classes d'amplitudes différentes n'auront pas la même "hauteur" (ordonnée) alors qu'elles correspondent à un même pourcentage.

   Supposons une série regroupées en classes,  pour laquelle [20,30[, d'amplitude 10 a même effectif que [70,90[ d'amplitude 20 : le rectangle de cette dernière sera deux fois "moins haut" que celui de la classe [20,30[ : à effectif égal, les aires doivent être les mêmes.

L'histogramme est à rapprocher du diagramme circulaire dont les angles des secteurs sont proportionnels aux effectifs (ou pourcentages, ou fréquences) des classes. Or l'aire d'un secteur est proportionnel à son angle. Ainsi dans un diagramme circulaire ou un histogramme, une surface deux fois plus importante (aire double) signifie une fréquence deux fois plus grande.

 

   

»  voir l'exercice correspondant

D'une façon générale, si on note eff  l'effectif d'une classe, freq sa fréquence, ampl son amplitude, u l'amplitude choisie comme référence (ci-dessus u = 20), alors, une unité graphique étant choisie, la hauteur h du rectangle associé est :

h =  eff × u/ampl   ou, en termes de fréquence :  freq × u/ampl
la "hauteur" h d'un rectangle est inversement proportionnelle à l'amplitude.

 !  Lorsque cela s'avère possible (faible disparité des données), on choisit d'utiliser des classes de même amplitude évitant des erreurs d'interprétation mais il ne faut cependant pas confondre diagramme en barres et histogramme : dans un diagramme en barres (pour des classes de même amplitude) ou en bâtons (série de valeurs), la hauteur de la barre (ou du bâton) est proportionnelle à l'effectif (voire égale, selon l'échelle utilisée) de la classe (ou de la valeur).

 
Diagramme en barres, médiane, classe modale , Diagramme circulaire et histogramme, Contrôle de vitesse

Le coefficient de corrélation :   

Aussi appelé coefficient de Bravais-Pearson, ce paramètre a été préalablement défini et utilisé par Galton au tout début des années 1880 : si X et Y sont deux séries statistiques de n données (xi,yi ) de type yi = f(xi), de moyennes mx et my autrement dit espérances mathématiques E(X) et E(Y), de variances respectives V(X) et V(Y), de covariance cov(X,Y), le coefficient de corrélation du couple (X,Y) est défini par :

σx et σy sont les écarts-types respectifs de X et Y, racines carrées de leur variance. Le coefficient de corrélation est compris entre -1 et 1 car cov2(X,Y) ≤ V(X)V(Y).

Lien avec le cosinus d'un angle dans un espace vectoriel normé de dimension finie : »

De plus, si X' et Y' désignent les formes centrées et réduites de X et Y, à savoir :

 

le coefficient de corrélation r est inchangé : cov(X',Y') = cov(X,Y) = r.

Compléments (étude statistique à deux variables) :  »

Interprétation du coefficient de corrélation :   

Le coefficient de corrélation indique une présomption de liaison linéaire entre les deux séries d'autant qu'il sera proche de 1 en valeur absolue. Si r = ± 1, X et Y sont liés par une relation affine de type Y = aX + b.  La justification du choix de ce coefficient r est donnée en complément sur la page relative à la méthode des moindres carrés.

 !  Inversement, un coefficient de corrélation faible, voire nul, ne signifie pas qu'il y a indépendance : la corrélation linéaire est un cas particulier de relation fonctionnelle entre deux variables aléatoires ou statistiques. On peut plus généralement chercher à approcher un nuage de point statistique par une courbe de type y = f(x) : on parle de régression, laquelle peut être linéaire, polynomial, logarithmique, exponentielle, etc.

Méthode des moindres carrés, corrélation linéaire, programme en ligne :  »

 
extrait BTS gestion 1990 | Exercice un peu tristounet... | Usure des pneus et puissance fiscale (couple pondéré) |


    Pour en savoir plus :


Lyapunov  Goursat
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