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MÉNÉLAÜS (ou parfois Ménélaos) d'Alexandrie, grec, vers 100        Alexandrie

On ne possède aucune information de la vie de cet astronome qui, selon Ptolémée, fit d'intéressantes observations célestes à Rome. on lui doit des travaux remarquables de géométrie sur la sphère et les premiers résultats de ce qu'on appellera au 16è siècle la trigonométrie sphérique : il est sans doute le premier à avoir défini un triangle sphérique : intersection de trois grands cercles de la sphère, dans son traité Les Sphériques (Sphaerica).

Girard et la trigonométrie sphérique :

Au 9ème siècle, les mathématiciens et astronomes arabes, comme Al-Khwarizmi, s'inspireront des travaux des astronomes grecs (dont Hipparque et Ptolémée) pour développer la trigonométrie plane et sphérique.

At-Tusi , Regiomontanus, Kepler , Nonius , Delambre

Théorème de Ménélaüs, parfois dit de Ménélas :

 

Trois points P, Q et R situés sur les supports des côtés BC, CA et AB d'un triangle ABC sont alignés si et seulement si :

                       mesures algébriques

Ce théorème est présent dans les Sphériques de Ménélaüs. Il est le dual du théorème de Céva.

Selon les historiens, Hipparque le connaissait et l'aurait utilisé dans ses calculs. Il est le point de départ de la théorie des transversales (droites coupant deux côtés d'un triangle), des propriétés remarquables des divisions et faisceaux dits harmoniques, en liaison avec les coniques et la trigonométrie (voire la topographie), qu'étudieront Pappus, At-Tusi, Desargues, ou encore Brianchon et Pascal et plus tard encore Monge et Poncelet avec la géométrie projective.

Au 19è siècle, Carnot énoncera une généralisation de ce théorème lorsque la transversale est remplacée par une courbe algébrique.

Preuve : L'homothétie de centre P de rapport PC / PB (mesures algébriques) transforme B en C et celle de centre Q de rapport QA / QC transforme C en A; la composée de ces deux homothéties transforme donc B en A; ce n'est pas une translation car (PQ) n'est pas parallèle à (AB) : c'est donc une homothétie h dont le centre est aligné avec P et Q; mais ce centre est aussi aligné avec B et et son image h(A) : c'est donc R et le rapport est alors :

RA / RB = (PC / PB)  x  QA / QC

ce qui fournit le résultat attendu. Selon le choix de P, Q et R, il se peut que l'on soit amené à prolonger les 3 côtés du triangle ABC. La preuve sera semblable.

En exercice : Une autre façon de procéder est d'abaisser depuis A, B et C les perpendiculaires à la droite (PQR). En appliquant trois fois judicieusement le théorème de Thalès et en faisant le produit des quotients trouvés (tout en affectant un signe négatif à des rapports de mesures de segments ayant des directions opposés), on obtiendra le résultat cherché.

Théorème de Céva :
Théodose de Tripoli  Ptolémée


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