ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loi exponentielle (durée de vie sans vieillissement)             niveau Ter/Sup

 ➔  Cette page demande des connaissances élémentaires relatives aux lois de probabilités dites continues : lois régies par des variables aléatoires pouvant prendre toute valeur d'un intervalle fini ou non de R.

Notion de fonction de répartition (cas discret) : »            Variable aléatoire continue, densité : »

En calcul des probabilités, on peut s'intéresser à un phénomène dont une (ou plusieurs) caractéristique(s) ne subit (subissent) pas les injures du temps... Rares sont de tels phénomènes ! Dans la pratique, ils relèvent donc d'événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale comme dans la désintégration des atomes radioactifs (cf. in fine). On peut tout au contraire parler de vieillissement en termes de phénomène physique : consulter par exemple cette vidéo de l'Académie des sciences où Alice Guionnet (mathématicienne, ENS/CNRS) parle de ce sujet devant des lycéens à l'occasion de la semaine des mathématiques (mars 2018).

Durée de vie sans vieillissement :     

Le disque dur de votre ordinateur à une durée de vie théoriquement très élevée : 100 000 h (on appelle ça le MTBF : Mean Time Between Failures). Si vous l'utilisez, disons 6h par jour, cela vous donne 1666 jours environ d'espérance de vie, soit près de 700 ans... Dans ces conditions, on peut estimer que s'il ne vous a pas lâché au bout de 8 jours, la probabilité qu'il tombe en panne le 9è jour est la même que la veille : on parle alors de durée de vie sans vieillissement.

De même, chez un enfant de 5 ans en pleine santé, on peut estimer que la probabilité de le voir victime d'une crise cardiaque à 7 ou 8 ans n'a pas évolué. Mais le risque existe ! Chez un homme de 55 ans, considéré jusque là en pleine santé, on est en droit de penser que le risque a augmenté lorsqu'on s'intéresse à son sort à 60 ans...

Ces allégations reposent sur des qualités optimales de fabrication (on n'a pas encore les statistiques sur 100 000 heures de fonctionnement d'un disque dur) ou des statistiques de mortalité relatives, hélas, à certaines maladies.

Étude :       

Considérons un phénomène sujet à une durée de vie sans vieillissement, régi dans le temps par une variable aléatoire positive X indiquant sa durée de fonctionnement ou de vie.

En termes de probabilité, en notant [X ≥ α] l'événement "X est au moins égal à α", cette hypothèse signifie, au moyen des probabilités conditionnelles, que :

Pour tout x et tout t positifs : Prob([X ≥ x + t] / [X ≥ t]) = Prob[X ≥ x]

On peut aussi écrire :

C'est à dire :

Prob([X ≥ x + t] = Prob[X ≥ x]) × Prob[X ≥ t]

Pour tout x ≥ 0, posons φ(x) = Prob[X ≥ x], nous obtenons :

∀ x ≥ 0, ∀ t ≥ 0 :  φ(x + t) =  φ(x) × φ(t)        (1)

La fonction de répartition de X est :

F(x) = Prob[X < x] = 1 - Prob[X ≥ x] = 1 - φ(x)

Recherchons F, dérivable de densité f, c'est à dire vérifiant

F'(x) = f(x) = - φ'(x)

en dérivant la relation (1) par rapport à t, en supposant alors x fixé. nous obtenons :

∀ x ≥ 0 : φ'(x + t) × 1 =  φ(x) × φ'(t)

Pour t = 0, on a :

∀ x ≥ 0 : φ'(x) =  φ(x) × φ'(0)

 ➔   φ'(0) est non nul, sinon φ'(x) = 0 pour tout x ≥ 0 entraînerait φ(x) = cte, soit Prob[X ≥ x] = cte. Or [X ≥ 0]  est l'événement certain, donc Prob[X ≥ 0] = 1 et, par suite, Prob[X ≥ x] = 1 : notre variable X supposée aléatoire ne l'est plus... : à rejeter !

Nous sommes ainsi face à une équation différentielle élémentaire du type φ' = kφ. C désignant une constante arbitraire à déterminer, la solution générale est :

φ : x → C.e^kx

D'où l'appellation loi exponentielle, On a φ(0) = Prob[X ≥ 0] = 1, donc C = 1 et :

 φ(x) = e^kx  ,  F(x) = 1 - e^kx , f(x) = F'(x) = -k.e^kx

Concernant la constante k, vu que F représente une probabilité, on a nécessairement k < 0. On pose alors λ = - k,  paramètre de la loi. En définitive, la fonction de répartition de la loi exponentielle est donnée par :

F(x) = Prob[X < x] = 1 - e^-λx,  x ≥ 0, λ > 0       (2)

de densité (fonction dérivée de F) :

∗∗∗
Voici un résultat utile, utiliser (2) ci-dessus :
Vérifier que pour tout couple (a,b) de réels vérifiant 0 ≤ a < b, on a : Prob(a ≤ X ≤ b) = e^-λa - e^-λb

 ➔  L'espérance mathématique et la variance de cette loi, dont les calculs sont proposés ci-dessous, sont respectivement 1/λ et 1/λ²

∗∗∗

4. Exercices type baccalauréat Série S (Irem Paris-Sud) : »

Cette loi exponentielle est en rapport étroit avec la désintégration d'atomes de matière radioactives comme le radium. On pourra se référer à l'exercice dont le lien est indiqué ci-dessous pour constater que la vie moyenne de tels atomes est 1/λ (espérance mathématique de la loi exponentielle), soit avec λ ≅ 0,00043, environ 2326 ans, λ prenant là le nom de constante de désintégration.

La période du radium est le laps de temps nécessaire à la désintégration de la moitié de sa masse. C'est donc, en termes de statistique, la médiane de notre loi exponentielle, à savoir T tel que :

Prob[X > T] = 0,5

Par conséquent, e^-λT = 0,5. Ce qui conduit à -λT = ln(0,5), soit T = λ/ln2.

∗∗∗  Radioactivité, période du radium

Les notions d'espérance mathématique et de variance (cas continu) : »

 ➔  Quelques lois continues étudiées dans ChronoMath :

• La loi de Laplace-Gauss, dite normale |  La loi de Pearson dite du χ²

• La loi de Student, dite loi t  |  La loi de Fisher, dite loi F  |  La loi de Cauchy.

Autres lois étudiées dans ChronoMath : »