ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Conchoïde d'une courbe                 Trisection selon Nicomède

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Une conchoïde d'une courbe (C) relativement à (ou par rapport à) un point O et à un nombre positif k est obtenue, lorsque M décrit (C), comme le lieu des points M' alignés avec O et M et tels que MM' = k. Deux point M1 et M2 symétriques par rapport à M répondent donc généralement à la question.

  Conchoïde est forgé sur concha = coquillage (latin) et eïdos = forme (grec), signifiant donc en forme de coquillage. Une étymologie certes indiscutable mais peu convaincante eu égard à la forme des courbes étudiées ici...

Si r = f(t) est l'équation polaire de la courbe (C), le rayon-vecteur est r = OM. L'équation de la conchoïde relativement à l'origine O est alors :

r = f(t) ± k

Les conchoïdes ont des formes diverses suivant le support de la courbe utilisé. On s'intéresse ici aux conchoïdes de droites et aux conchoïdes de cercles :

Conchoïdes de cercle & limaçons de Pascal :

L'équation polaire d'un cercle de centre A(a/2,0) de diamètre a est r = a.cost, par suite les courbes d'équation de la forme :

r = a.cost + k

sont des conchoïdes de cercle relativement à l'origine, également appelés limaçons de Pascal, du nom d'Etienne Pascal, père de Blaise, qui les a étudiées en tant qu'ensemble des pieds H des perpendiculaires abaissées d’un point fixe O sur les tangentes à un cercle : podaire d'un cercle.

Animations :

      

Cardioïde en tant qu'épicycloïde :Cardioïdographe sur YouTube :

Conchoïdes de droite :

L'équation polaire d'une droite d'équation cartésienne x = a, en repère orthonormé est r = a/cost, par suite les courbes d'équation de la forme r =a/cost + k sont des conchoïdes de droite par rapport à l'origine. Un exemple célèbre est la conchoïde de Nicomède illustrée ci-dessous.

Voici la conchoïde d'une droite d'équation x = a par rapport à O. [M1M2] est un diamètre du cercle de centre  M, de rayon k. La conchoïde est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer M et changer k en jouant sur la tirette
Pour effacer/relancer le lieu : double-cliquer/cliquer dans la figure
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Conchoïdographe sur YouTube :

Conchoïde de cercle selon la définition usuelle MM' = k :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer M et changer k. Pour effacer / relancer le lieu double-cliquer / cliquer dans la figure Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Conchoïde de cercle selon la définition d'Étienne Pascal (limaçon):


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer O ou T et réduire/agrandir le cercle
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


Génération d'une conchoïde et d'une cardioïde


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