ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Duplication du cube selon Ménechme
      
Duplication selon Ératosthène , selon Dioclès , selon Eudoxe       

Selon la légende, la duplication du cube est un posé par les sophistes grecs au 6è siècle avant jésus-Christ, aussi appelé problème de Délos :

La ville de Délos possédait un autel cubique à la gloire d'Apollon. Afin de débarrasser la ville d'une épidémie de peste, l'oracle avait exigé la construction d'un autel  exactement deux fois plus grand. Les artisans se mirent au travail en construisant un autel de côté double. La peste persista. On comprit alors qu'il fallait doubler le volume de l'autel. big problem !

Si c désigne le côté du cube initial, il s'agit de construire (au sens euclidien imposé par Platon) un segment de mesure x tel que :

x3 = 2c3

Le problème revient donc à construire un segment de mesure r tel que r3 = 2, c'est à dire la racine cubique de 2, notée.

L'impossibilité d'une telle construction ne fut prouvée qu'au 19è siècle par Wantzel en utilisant les résultats d'Abel relatifs aux équations algébriques.

   Une approche de la racine cubique en classe de 3ème

Dans le cadre de la théorie des proportions d'Eudoxe, en choisissant c comme unité (c = 1), le problème s'identifie à la recherche de deux moyennes proportionnelles x et y telles que :

1 / x = x / y = y / 2

En notations modernes, Ménechme considère alors l'intersection de deux coniques : l'hyperbole équilatère d'équation y = 2/x et la parabole d'équation y = x2.

L'abscisse de l'intersection égale la racine cubique de 2. Le problème, ainsi ramené au plan, introduit des outils « autorisés » mais ne résout pas le problème au sens strict de la construction euclidienne (comme dit plus haut, on sait qu'il n'a pas de solution en ce sens) : la méthode, comme la suivante, relève d'approximations successives : ci-dessous la figure Cabri-Géomètre obtenue en utilisant la propriété de Thalès pour placer x2 et 2/x, dans un repère orthonormé :


génération point par point de y = 2/x et y = x2
déplacer (doucement) x. pour effacer le lieu double-cliquer dans la figure.

Vers 1760, dans son Encyclopédie, d'Alembert écrivait (au terme proportionnel) :

Les Géomètres cherchent depuis deux mille ans une méthode pour trouver géométriquement deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, c'est-à-dire, en n'employant que la ligne droite et le cercle ; car du reste ce problème est abondamment résolu ; et particulièrement la résolution que l'on en donne par les sections coniques, en faisant, par exemple, qu'un cercle et une parabole s'entrecoupent suivant une certaine loi, est une solution très géométrique de ce problème.

En le réduisant à une équation algébrique, il paroît impossible qu'on le résolve jamais avec le seul secours de la ligne droite et du cercle ; car on arrive toujours à une équation du troisième degré, qu'il n'est pas possible de construire avec la ligne droite et le cercle.

Les anciens résolvoient ce problème méchaniquement par le moyen du mésolabe décrit par Eutocius : et plusieurs d'entr'eux ont tâché d'en donner la démonstration : d'autres, comme Ménechme, résolvoient ce problème par les lieux solides : d'autres, par des mouvements composés, comme Platon, Archytas, Pappus et Sporus : d'autres enfin, en tâtonnant, comme Héron et Apollonius.


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