ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MAUROLICO Francesco (Franciscus Maurolycus), italien, 1494-1575

Francesco Maurolico se fit connaître en Europe sous le nom de Franciscus Maurolycus, nom latinisé comme il était souvent coutume à cette époque pour se faire comprendre par la majorité des auteurs tant en sciences qu'en philosophie et théologie, car le latin était alors la langue véhiculaire de la connaissance.

Mathématicien, astronome, architecte et prêtre bénédictin né et mort à Messine (il vécut toute sa vie en Sicile). Il enseigna les mathématiques à l'université de  Messine, toute jeune université fondée en 1548 par Ignace de Loyola (également fondateur de la compagnie de Jésus) sous le règne de Charles le Quint, vice-roi de Sicile. Maurolico dirigea les travaux de fortification de sa ville. En sciences physiques, il intervint en de nombreux domaines : en optique, magnétisme, mécanique, ...

Dans le domaine mathématique, outre ses recherches et ouvrages ayant contribué à faire connaître les mathématiques et la science de la Grèce antique, on lui doit tout particulièrement un traité d'arithmétique (1557) en deux volumes écrit en latin intitulé Arithmeticorum libri duo, nunc primum in lucem editi que l'on peut traduire par Deux livres d'arithmétique, maintenant pour la première fois dans la lumière où il reprend et complète avec brio l'œuvre arithmétique de Nicomaque de Gérase, qui ne fut imprimé qu'après sa mort (1575) au sein de son Opuscula mathematica, huit traités réunissant l'ensemble de ses travaux.

Maurolico considéré comme à l'origine du raisonnement par induction (raisonnement par récurrence) :

Dans son Arithmeticorum libri duo, Maurolico fait état d'un nouveau mode de raisonnement (re)mis en lumière par le mathématicien italien Giovanni Vacca en 1909 : le raisonnement par induction attribué à Blaise Pascal. On pourra consulter son article en réf.2 où Vacca nous apprend que Pascal fait accessoirement allusion à Maurolico dans un débat épistolaire sur la cycloïde mais non pas au sujet de ce mode de raisonnement que d'aucuns font remonter l'origine à des temps plus anciens, en particulier dans les écrits des mathématiciens arabes As-Samaw'al vers 1150, voire Al-Karaji à la charnière des 10è et 11è siècles.

 i  Giovanni Vacca (1872-1953) fut un mathématicien italien, un historien des sciences et un linguiste renommé. Après des études mathématiques à Gènes, sa ville natale, il fut l'assistant de Giuseppe Peano à Turin. Passionné par la culture chinoise et fasciné par les idéogrammes qu'il associe à la logique symbolique, Vacca voyage en Chine et se spécialisera, dès 1910, dans l'enseignement de la langue et la littérature chinoise à Rome puis à Florence où il occupera (1921) la chaire d'histoire et de géographie de l'Asie orientale (transférée à Rome en 1923) jusqu'à sa retraite en 1948 (Sce biographique : » mathematica italiana).

Proposition 13 (en haut de page) :

omnis quadratus cum impari sequente coniunctus constituit quadratum sequentem
tout carré augmenté de l'impair (de rang) suivant constitue le carré suivant

1 2 3 4 5 6 7 8 rang n
1 4 9 16 25 36 49 ... carrés n2
1 3 5 7

9

11

13

15

impairs

2n - 1
1 + 3 4 + 5 9 + 7

16 + 9

25 + 11

36 + 13

49 + 15

...

somme

n2 + (2n + 1)
4 9 16 25 36 49 64 ... carrés (n + 1)2

Si n désigne un entier naturel non nul, son rang dans l'ensemble N* est n lui-même. La suite des carrés est 1, 4, 9, 16, 25, ... le rang de n2 dans N* est encore n. La suite des entiers impairs est 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... L'entier impair de rang n est 2n - 1 (on par saut de 2 à partir de 1). L'impair de rang n + 1 est ainsi 2(n + 1) - 1 = 2n + 1. Par suite :

n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 

Proposition 14 :

 omnis quadratus cum duplo sua radicis et unitate coniunctus constituit quadratum sequentem
tout carré augmenté du double de sa racine et de l'unité constitue le carré suivant

Cette proposition est équivalente à la précédente; on peut l'écrire n2 + 2√(n2) + 1 = (n + 1)2, autrement dit :

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1

Proposition 15 :

Ex aggregatione imparium numerorum ab unitate per ordinem successive sumptorum,
construuntur quadrati numeri continuati ab unitate, ipsisque imparibus collaterales
En sommant les nombres impairs pris successivement depuis l'unité,
on construit les carrés consécutifs à partir de l'unité et des impairs collatéraux (?)

 ?  Ce collatéraux n'est pas très clair. Mais bon... Maurolico exprime ensuite :

"Selon ce qui précède, l'unité premier (carré) suivie de l'impair suivant fait un carré, à savoir 4. Et le deuxième carré lui-même, avec le troisième impair, à savoir 5, fait le troisième carré, à savoir 9. De la même manière, 9, troisième carré, fait avec le quatrième impair, à savoir 7, le quatrième carré, à savoir 16. Et ainsi de suite, en répétant P13  à l'infini (plutôt P14), la proposition est démontrée".

On voit là le principe du raisonnement par récurrence, également dit par induction (» Pascal). Avec le vocabulaire d'aujourd'hui, montrons la relation :

(Pn)       n ≥ 2, 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n2        

1 + 3 + ... + (2n - 1) + (2n + 1)

Elle représente le 1er membre de la relation (Pn+1). Selon notre hypothèse, nous nous pouvons l'écrire :

[1 + 3 + ... + (2n - 1)] + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2

(Pn+1) est donc vérifiée. (P2) étant vérifiée, (Pn) l'est pour tout n ≥ 2.


    Pour en savoir plus :

  1. Arithmeticorum libri duo, nunc primum in lucem editi, par Franscesco Maurolycus (1575), en latin :
    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83056z/f16.item
  2. Maurolycus, the first discover of the principle of mathematical induction, par G. Vacca (note introductive de Florian Cajori), 1909 :
    a) https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-16/issue-2/Maurolycus-the-first...
    ou bien :
    b) https://www.ams.org/journals/bull/1909-16-02/S0002-9904-1909-01860-9/S0002-9904-1909-01860-9.pdf


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