ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Courbes cycliques

C'est dans son mémoire intitulé Sur une classe remarquables de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires (1873), que Darboux a nommé cycliques les courbes algébriques intersections d'une sphère et d'une quadrique (surface du second degré). On en distingue deux sortes : les cubiques circulaires et les quartiques bicirculaires.

Justification de ces appellations :

Soit O un point du plan, appelé pôle, (Γ) une courbe fixe, dite directrice et k un nombre réel. Soit (F) la famille de cercles centrés sur (Γ) pour lesquels la puissance de O est k. Leur enveloppe est appelé cyclique de pôle O, de directrice (Γ), de puissance k. Comme dans l'inversion, le cercle de centre O de rayon |k| est appelé cercle d'inversion ou cercle directeur.

Où l'on retrouve les courbes anallagmatiques :

Considérons un cercle (c) de la famille (F), de rayon ρ, centré en M sur (Γ). La puissance de O par rapport à un tel cercle est OM2 - ρ2 = k.

Si k est strictement positif :  

Considérons le cercle (φ) de centre O de rayon k. La puissance de M par rapport à (φ) est P/(φ)(M) = MO2 - k. C'est donc ρ2 : c'est dire que les cercles de (F) sont orthogonaux à (φ). La cyclique est donc anallagmatique : globalement invariante par inversion.

 Inversion géométrique et courbe anallagmatique :

La figure ci-dessous illustre la situation dans le cas où (Γ) est une ellipse :

Pour obtenir la cyclique, on utilise la construction donnée pour les courbes anallagmatiques : on trace le cercle d'inversion (φ) de centre O. Soit M le centre d'un cercle de la famille F. On trace le cercle (γ) de diamètre [OM] coupant (φ) en A et B. Le cercle de centre M passant par A (et B) est un élément de (F).

Ci-dessous, la déférente est une hyperbole. Le logiciel CabriGéomètre a tracé 200 cercles. Les cercles de centres respectifs M et M' engendrent les parties bleu et rouge de la cyclique. C'est un ovale de Cassini, courbe algébrique du 4ème degré, quartique bicirculaire :


Lorsque k = 0 :  

Le cercle d'inversion (φ) se réduit à un point. P/(c)(O) = OM2 - ρ2 = 0. Ce cas particulier d'ovale de Cassini est une lemniscate, enveloppe des cercles passant par O. Si l'hyperbole est équilatère, c'est une lemniscate de Bernoulli.

Si k est strictement négatif :  

P/(c)(O) = k = -(|k|)2, le cercle (φ) de centre O, de rayon |k| est pseudo-orthogonal à tous les cercles de (F) : chaque cercle coupe (φ) selon deux points diamétralement opposés.

Pour obtenir géométriquement la cyclique, on trace le cercle d'inversion (φ) de centre O. Soit M le centre d'un cercle de la famille F sur la déférente (Γ). On trace [OM] puis la perpendiculaire à [OM] passant par O coupant (φ) en A et B : c'est un diamètre de (φ). Le cercle de centre M passant par A (et par B) est un élément de (F) :


 

Remarque :  

En traçant la tangente en M à l'hyperbole, la normale à cette tangente passant par O coupe le cercle orthogonal à (φ) en deux points de l'enveloppe :

 

Dans l'animation dont le lien est indiqué ci-dessous, on pourra réduite (φ) au point O et déformer l'hyperbole initiale afin d'obtenir une ellipse :

  Animation (cas d'une ellipse, d'une hyperbole et d'une parabole) :

Pour en savoir plus :


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