ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Coordonnées polaires , coordonnées paramétriques        
    
Courbes : le cas polaire | le cas paramétrique       repère direct (plan et espace) | coordonnées cartésiennes

Dans un repère orthonormé (Ox,Oy) direct, orienté par le sens trigonométrique usuel (sens inverse des aiguilles d'une horloge ou d'une montre... à aiguilles), un point M(x,y) repéré en coordonnées cartésiennes peut l'être par ses coordonnées dites polaires : le pôle est l'origine O, Ox est l'axe polaire.

L'origine de ces coordonnées remonte à Jakob Bernoulli et à Isaac Newton dans l'étude de courbes planes fermées comme la lemniscate. Plus tard Argand, Français, Lefébure de Fourcy, Gauss et Cauchy s'en serviront pour une représentation géométrique des nombres imaginaires (nombres complexes) et la mise en place de leurs exposants fractionnaires.

Soit θ = ^(Ox,OM) l'angle de rotation amenant l'axe (O,i) sur l'axe (O,i') supportant M, en tournant dans le sens direct (trigonométrique). Un point M est caractérisé par l'angle, dit angle polaire de M, et par la mesure algébrique r de OM sur l'axe (O,i'). Le nombre r peut donc être positif ou négatif (voire nul si M est O); c'est le rayon-vecteur de M.

Il est clair que tout couple (r,θ) définit un point et un seul du plan. Cependant, tout point M possède une infinité de repérage polaire : θ est défini à 2π près et, de plus, on remarquera que :

les notations M(r,θ) et M(-r,θ + π) désignent le même point

Avec les notation du schéma ci-dessus, si on pose N(r',θ') alors on peut aussi écrire N(-r',θ) ou encore, puisque N, O et M sont alignés : N( r', θ + π) ou N( r', θ - π).

Équation polaire d'une courbe :              passage d'une représentation à une autre , équation de la tangente

Une courbe est dite définie en coordonnées polaires si tout point M(r,θ) de cette courbe vérifie une équation (ou plusieurs simultanées si nécessaire : définition par morceaux) de la forme r = f(θ) où f est une fonction de θ (variant éventuellement dans un ensemble J précisé). Le problème est parfois (souvent) de rechercher l'ensemble J minimal permettant l'obtention de la courbe en entier.

Si le changement de θ en -θ :

Si f(u - θ) = f(θ), alors il y a symétrie par rapport à l'axe d'angle polaire u/2. En particulier, si :


  On peut déplacer les demi-droites d'angle polaire t ou u (t remplace ici θ)

Des exemples :    

Preuve : ci-dessous, dans le tringle rectangle OMA, un point M(r,θ) du cercle situé dans le 1er quadrant vérifie r 0 et θ[0,π/2] et on a : OM.MA = HM.OA, soit r2asinθ = asin2θ2a = 2asinθcosθ2a. Donc r = 2a.cos θ pour tout sinθ non nul. Or sinθ = 0 ne se produit ici qu'en θ = 0, c'est à dire lorsque M est en A, position que l'on retrouve dans r = 2a.cosθ.

Cette équation fournit le cercle en entier car ce dernier admet l'axe Ox comme axe de symétrie : M(r,-θ) est le symétrique de M(r,θ) par rapport à Ox et 2a.cos(-θ) = 2a.cosθ.

  Courbes remarquables dans ChronoMath                 Étude de la strophoïde (niveau Sup)

Le changement de θ en -θ laisse r invariant : symétrie par rapport à Ox. Mais on constate aussi une symétrie par rapport à Oy. En effet r(π - θ) = r(θ) puisque la fonction cosinus est paire et de période 2π : il y a donc symétrie par rapport à Oy correspondant à l'axe d'angle polaire π/2.

  Tangente et coord. polaires ,  Asymptote et coord. polaires , Génération géométrique du quadrifolium , trifolium

Équation paramétrique d'une courbe :              équation de la tangente

En projetant un point M(r,θ) sur les axes de coordonnées cartésiennes, la trigonométrie élémentaire nous enseigne que xM = r.cos θ et yM = r.sin θ.

Comme r dépend de θ, une courbe peut être définie par la donnée de x = f(θ) et de y = g(θ). Plus généralement, si t est un paramètre réel quelconque (non nécessairement l'angle polaire défini ci-dessus), les équations définies par :

t J, M(x,y), x = f(t) et de y = g(t)

définissent une représentation paramétrique d'une courbe. On parle aussi de courbe paramétrée, le paramètre étant le nombre réel t.

x = a.cos t , y = b.sin t , t décrivant [0,2π]

Tout comme en coordonnées polaires, on peut tenter de réduire l'intervalle d'étude :

f(-t) = -f(t) et g(-t) = g(t) : la courbe admet Oy comme axe de symétrie; on peut donc réduire l'intervalle d'étude à t 0 et compléter par une symétrie par rapport à Oy.

f(-t) = f(t) et g(-t) = -g(t) : la courbe admet Ox comme axe de symétrie; on peut donc réduire l'intervalle d'étude à t 0 et compléter par une symétrie par rapport à Ox.

f(-t) = -f(t) et g(-t) = -g(t) : la courbe admet O comme centre de symétrie. ; on peut donc réduire l'intervalle d'étude à t 0 et compléter par une symétrie par rapport à O.

Dans le cas où t représente l'angle polaire de M, on peut bénéficier d'autres réductions de l'intervalle d'étude. Par exemple :

f(π - t) = f(t) et g(π - t) = -g(t) : la courbe admet également Ox comme axe de symétrie. etc.

Passage d'une représentation à une autre :    

Au lycée, en dehors des classes terminales à option mathématique, on se contente d'étudier des courbes élémentaires au moyen d'une équation cartésienne de la forme y = f(x) où M(x,y) désigne un point de la courbe. S'il est facile de passer de la forme polaire à la forme paramétrique, le passage inverse peut être très complexe et exiger un changement d'origine, voire un changement d'axes de coordonnées.

équation polaire de l'ellipse , équation polaire de la strophoïde

  Généralement, connaissant une équation cartésienne ou paramétrique, on recherchera r au moyen de son carré r2 = x2 + y2 en choisissant judicieusement l'axe polaire et le pôle. Le contexte doit permettre de choisir la "bonne" détermination de r lors du passage à la racine carrée.

On a vu ci-dessus qu'une équation polaire du cercle de centre (a,0) de rayon a (donc passant par O) est r = 2a.cosθ. On en déduit x =  r.cosθ = 2a.cos2θ = a(1 + sin2θ) et y =a.sin2θ. Retrouvez ce résultat directement par des considérations trigonométriques élémentaires.  

 Étude d'une courbe paramétrée , Équation polaire de l'ellipse

   Équation polaire de la strophoïde , Asymptote et coordonnées paramétriques , Ovales de Cassini

Axe et centre de symétrie en coordonnées cartésiennes :

Le sens trigonométrique :

Le fameux sens trigonométrique trouve son origine en mécanique céleste. Si vous regardez vers le nord en tendant les bras, votre main droite pointe vers l'est et votre main gauche vers l'ouest. Lorsque le Soleil se lève (à l'est) pour se coucher (à l'ouest), il semble décrire un arc de cercle de la droite vers la gauche : c'est une interprétation concrète du sens direct ou trigonométrique.

600 ans av. J.-C., Thalès croyait déjà à la rotation de la Terre autour du Soleil dans le plan qui fut appelé l'écliptique (héliocentrisme de Hélios = Soleil) ainsi qu'à la rotation de la Terre sur elle-même. Pourtant, Ptolémée, 700 ans plus tard, affirmait encore, à tort, que le Soleil tournait autour de la Terre : géocentrisme (de Geos = Terre).

Les héliocentriques était d'accord pour constater que cette rotation se faisait d'Ouest en Est pour la rotation de la Terre sur elle-même et dans ce "même" sens quant à la rotation de la Terre autour du soleil ou du soleil autour de la Terre, pour un bonhomme embroché comme indiqué sur le dessin ci-dessous et regardant le plan de l'écliptique. L'interprétation géocentrique conduit, au contraire, à une rotation dans le sens des aiguilles d'une horloge (montre à aiguilles...).

Il en est de même de la rotation de la lune autour de la Terre et des autres planètes du système solaire. Une exception pour confirmer la règle : Uranus (découverte "récemment" en 1781) qui fait preuve d'originalité : elle tourne sur elle-même dans le sens des aiguilles d'une montre, son axe n'étant incliné que de 8° environ sur le plan de son orbite (lequel est sensiblement le plan de l'écliptique : 47 minutes d'inclinaison).

Vu sous l'angle héliocentrique, le sens astronomique, dit direct (dans le bon sens) et s'opposant à rétrograde, en sens inverse (horloge), a alors été choisi pour définir le sens trigonométrique de rotation dans un repère orthonormé (Ox,Oy). Implicitement utilisé par Ptolémée, Regiomontanus, Kepler, il sera formalisé par les Bernoulli, Euler, Gauss et deviendra universel.

Avec cette règle céleste..., un repère direct de l'espace s'obtiendra en adjoignant l'axe Oz (axe des cotes) au plan (xOy) :

         

Notons aussi que partant d'un angle nul ^AOB (A confondu avec B), augmenter l'angle en déplaçant B nous conduit plutôt à "monter" que descendre : en dehors de l'astronomie, c'est aussi un mouvement (donc un sens) intuitif. Pour éviter la fameuse locution "dans le sens inverse des aiguilles d'une montre", on aurait dû inventer des horloges faisant tourner leurs aiguilles dans le même sens que les planètes ou bien le "bon Dieu" aurait dû prévoir l'invention de l'horloge et faire tourner les planètes dans le "bon sens", mais c'est blasphème que cela...

Gibbs et le produit vectoriel :

Dans l'hémisphère nord, le sens trigonométrique est aussi le déplacement de l'ombre sur les cadrans solaires (autrefois appelés gnomons) placés verticalement orientés au sud. Sur un cadran solaire horizontal, orienté au nord, on retrouve le sens rétrograde (horloge). Rappelons ici que depuis 1911, la France utilise le méridien de Greenwich comme origine de son "heure légale". Il faut alors retirer une vingtaine de minutes par rapport à l'heure lue sur un cadran (plus précisément 18 minutes 46 secondes). Ceci, sans tenir compte de l'équation du temps : décalage de l'heure dû au changement de position de la Terre par rapport à l'écliptique dans sa course autour du soleil.

Angles orientés de vecteurs, de demi-droites, de droites :            Képler


 

Pour en savoir plus :


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