ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion d'équation   » 1er degré | 2ème degré | 3ème degré | 4ème degré
                                                            Équations algébriques | inéquations   

D'abord, c'est quoi une équation ? si on écrit 2 = 2 c'est une égalité (bien évidente...). Si on écrit, a et b désignant des nombres, a = b, on veut exprimer que les nombres a et b sont égaux : c'est une égalité.

Si on écrit, x désignant un nombre, 2x = 6, on veut exprimer que le double de x est égal à 6. C'est une équation. Cela deviendra une égalité si et seulement si on donne à x la valeur 3, on a alors l'égalité 6 = 6 : c'est vrai. On dit que l'équation est résolue et que sa solution est 3.

Une équation est ainsi une égalité dont l'un au moins des deux membres contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres, appelés inconnues (substantif féminin) qu'il s'agit de calculer afin que cette égalité puisse être vérifiée.

   Une équation se distingue ainsi d'une identité, égalité qui reste vraie quelles que soient les valeurs attribuées aux nombres qu'elle contient, représentés par des lettres. C'est le cas des identités remarquables comme (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, apprise au collège.

On parle aussi souvent, de façon synonyme, de la racine d'une équation. Cela provient historiquement du fait que l'équation du second degré se résout au moyen de radicaux : les racines carrées. Celle du troisième degré use de la racine cubique. La recherche des solutions d'une équation au moyen de radicaux fut un des plus grands problèmes de l'algèbre depuis l'Antiquité avec la découverte des nombres irrationnels par les pythagoriciens, jusqu'au 19e siècle avec le célèbre résultat d'Abel démontrant l'impossibilité, dans le cas général, de résoudre par radicaux l'équation du 5ème degré.

                 » Ruffini         Liens analogiques : Nombres algébriques , Courbes algébriques

 !   L'écriture 2a = b n'est pas une équation tant que l'on n'a pas précisé qui est l'inconnue (ou qui sont les inconnues).

   Une transformation appliquée à une équation (quelle qu'elle soit) est dite régulière lorsqu'elle conduit à une équation équivalente, c'est à dire possédant la (les) même(s) solution(s), si tant est qu'elle en ait... Résoudre une équation c'est obtenir par des transformations régulières l'ensemble des valeurs des inconnues réalisant l'égalité effective des deux membres de l'équation initiale.

L'équation du 1er degré :  »

Un grand mathématicien de l'Antiquité, Diophante d'Alexandrie, s'est intéressé aux équations en nombres entiers, c'est à dire des équations dont on cherche des solutions entières. C'est dire que, dans la donnée, d'une équation, on doit préciser dans quel ensemble de nombre on cherche des solutions : son ensemble de définition D. On rejoint ainsi la terminologie des fonctions. Normal car toute équation d'inconnue x peut s'écrire :

x∈D , f(x) = 0

pour signifier :

‹‹ recherche des nombres x de l'ensemble E tels que la fonction f s'annule en x ››.

En effet, si une équation est de la forme :

x∈D , Expression 1 = Expression 2

où les expressions 1 et 2 dépendent de x (sont fonctions de x), comme dans 2x2 - 3 = 1 - 2x, on peut la ramener à x∈D , Expression 1 - Expression 2 = 0, c'est à dire à x∈D , f(x) = 0 en appelant f la fonction qui à tout x de D associe Expression 1 - Expression 2.

   Une équation à deux inconnues u et v pourra s'exprimer par : (u,v) ∈Du×Dv et f(u,v) = 0. Par exemple, on peut s'intéresser aux entiers relatifs u et v tels que 5u - 7v = 1 : c'est une équation diophantienne.

Identité de Bézout :  »

Équations algébriques :

Une équation algébrique sur Q (resp. sur R ou C) si elle est de la forme P(x) = 0 où P est un polynôme dont les coefficients sont des nombres rationnels (resp. réels ou complexes).

Une équation algébrique peut posséder plus d'une inconnue. Si elle possède 2 ou 3 inconnues, elle sera respectivement de la forme P(x,y) = 0 et P(x,y,z) = 0. Par exemple :

Gauss et nombres algébriques : »             Courbes algébriques : »         » Abel , Galois , Wantzel

Règles algébriques de transposition (passage d'un membre à l'autre par addition/soustraction) » Al-Khwarizmi

A, B et u désignant des nombres quelconques :

Deux règles pratiques :

   Les transformations ci-dessus sont dites régulières : elles fournissent une expression algébrique équivalente.

 !  L'élévation au carré n'est pas une transformation régulière et doit être utilisée avec précaution en étudiant au préalable les signes des deux membres de l'égalité : en effet a2 = b2 conduit à a = b ou a = - b. Par exemple, écrire x2 = 16 au lieu de x = 4 fournit une solution étrangère x = - 4 !

6x2 = 8x    ⇔    3x2 = 4x    ⇔    x(3x - 4) = 0   
                   ⇔    x = 0   ou  3x - 4 = 0   
                   ⇔    x = 0   ou  x = 4/3

Loi de composition et élément régulier :  »

Présence de valeurs absolues :          » La notion de valeur absolue

D'une façon générale, on se débarrassera des valeurs absolues présentes dans une équation par étude des différents cas amenant à les supprimer. On trouvera les cas élémentaires se ramenant au 1er degré sur la page traitant la notion de valeur absolue à cet endroit.


b) Résoudre dans R, l'équation ln |x2 - 2| = 1      (e)
Rép :
ln e = 1, donc ln |x2 - 2| = 1 ⇔  ln |x2 - 2| = ln e ⇔  |x2 - 2| =  e     (a > 0, b > 0, ln a = ln b ⇔ a = b)
(e) |x2 - 2| =  ± e    ( |A| = k , k ≥ 0  ⇔ A = ± k).  Donc (e) ⇔ x2 = 2 + e ou x2 = 2 - e. Mais 2 - e < 0.
Les solutions de (e) sont donc x = ± √(2 + e)


© Serge Mehl - www.chronomath.com