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Spirale hyperbolique                  » Asymptote en coordonnées polaires , Autres spirales dans ChronoMath

Courbe étudiée par le physicien français Pierre Varignon en 1704. L'équation, en coordonnées polaires de cette belle spirale est, tout simplement :

 ➔   L'équation r = a/t explique le nom de la courbe vu que y = 1/x est l'équation de l'hyperbole équilatère en coordonnées cartésiennes. Elle est tracée ci-dessus pour a = 1 et t > 0. Lorsque t varie sur R^* tout entier, on obtient une branche complémentaire symétrique par rapport à Oy puisque le changement de t en - t change le signe de r :

Un zoom en se restreignant à t >0 : r = 1/t , t > 0

 La spirale hyperbolique est plus compliquée qu'elle ne paraît car elle possède non seulement :

• un point asymptote, à savoir l'origine puisque si t tend vers l'infini, r tend vers 0;

• mais aussi une droite asymptote d'équation y = 1 dont elle s'approche infiniment près, par définition d'une telle droite, lorsque t tend vers 0.

On peut prouver ce dernier résultat en utilisant une méthode spécifique aux coordonnées polaires ou bien très facilement en passant aux coordonnées paramétriques (x = r.cos t, y = r.sin t). On a ici, puisque r = 1/t :

Si t tend vers 0 par valeurs positives, cos(t) tend vers 1, donc x tend vers +∞, et y = sin(t)/t tend vers 1.

» Ce dernier résultat est facile à prouver en remarquant que sin(t)/t = (sin t - sin 0)/(t - 0). Le quotient sin(t)/t apparaît donc comme le taux d'accroissement de sin t au voisinage de zéro et par suite sa limite en 0 est le nombre dérivé de sinus en 0, soit cos 0 = 1.

 ➔   Notons que la spirale hyperbolique apparaît comme la projection conique (projection centrale) d'une hélice circulaire lorsque le centre de la projection est choisi sur l'axe de cette dernière :

Dans un repère orthonormé (0,x,y,z), l'équation de l'hélice d'axe Oz le long d'un cylindre de rayon R, est de la forme :

Choisissons A(0,0,a) comme centre de la projection conique. Notons m(x,y,z) un point de l'hélice et M le point projeté sur le plan xOy. Pour chaque t, la droite (Am) est dirigée par (Rcos t , Rsin t, at - a) et pour tout point M(X,Y,Z) de (Am), on peut alors s'écrire :

Le point projeté M(X,Y,Z) est défini par Z = 0 donc par λ(1 - t) = 1. D'où :

         (coordonnées paramétriques)

Donc, en coordonnées polaires :

On retrouve bien la spirale hyperbolique, quitte à poser t' = 1 - t.

 ➔  Si nous projetons sur le plan xOy la partie de l'hélice pour laquelle z est négatif, t = 1 correspond au plan de projection qui doit être écarté (on obtient la branche infinie lorsque t tend vers 1. Ci-dessous, la courbe est tracée pour a = 1 et t variant de -10π à 1.

existe et est fini. Ce nombre k représentera la distance algébrique OP = HM de l'asymptote au pôle (l'origine des coordonnées), cette asymptote étant parallèle à la droite d'angle polaire t_o. Une valeur positive (resp. négative) de k correspond à un angle orienté (OH,OP) = +π/2 (resp. -π/2). Dans certains cas l'étude du signe de k - r × sin(t - t_o) sera nécessaire pour étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

Si k existe mais est infini, il s'agira d'une branche parabolique dans la direction de l'axe polaire t_o.

Si k n'existe pas : r × sin(t - t_o) n'admet pas de limite en , il s'agira d'une branche infinie dans la direction de l'axe polaire t_o. Comme dans le cas cartésien, on peut parler de direction asymptotique d'angle polaire t_o.

Astuce !  

Le produit r x sin(t - t_o) se présente sous la forme indéterminée ∞ × 0. Posons alors ρ = 1/r; le produit conduit à la forme 0/0 et en lui appliquant la règle du marquis de L'hospital, la limite est cos(t - t_o)/ρ' où ρ' désigne la dérivée de ρ au point t. Par suite k = 1/ρ' tout simplement !

∗∗∗
1. Dans le cas ci-dessus de la courbe définie par r = 1/t au voisinage de t = 0, on a immédiatement k = 1. La droite polaire d'angle 0 est l'axe des abscisses. Le nombre k est positif : l'équation de l'asymptote oblique est y = +1.